Страница 79 номер 3.4.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 7 см. Найти катеты треугольника, если его гипотенуза равна 13 см. 2) Одна из сторон прямоугольника на 4 см меньше другой. Найти стороны прямоугольника, если он имеет диагональ 20 см.
1)
Дано:
треугольник прямоугольный
на 7 см — на столько один катет больше другого
13 см — гипотенуза
Найти: катеты треугольника.
Решение:
Пусть \(x\) см — меньший катет; тогда больший равен \((x + 7)\) см. По теореме Пифагора \[x^2 + (x + 7)^2 = 13^2, \quad 2x^2 + 14x + 49 = 169, \quad x^2 + 7x - 60 = 0.\]
\(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289\); \(x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12\), \(x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5\).
Значение \(x = -12\) не подходит: длина стороны положительна. Значит, меньший катет 5 см, а \(5 + 7 = 12\) (см) — больший.
2)
Дано:
прямоугольник
на 4 см — на столько одна сторона меньше другой
20 см — диагональ
Найти: стороны прямоугольника.
Решение:
Две стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник: стороны — катеты, диагональ — гипотенуза.
Пусть \(x\) см — меньшая сторона; тогда большая равна \((x + 4)\) см. По теореме Пифагора \[x^2 + (x + 4)^2 = 20^2, \quad 2x^2 + 8x + 16 = 400, \quad x^2 + 4x - 192 = 0.\]
\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784\); \(x_1 = \frac{-4 - 28}{2} = -16\), \(x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = 12\).
Значение \(x = -16\) не подходит: длина стороны положительна. Значит, меньшая сторона 12 см, а \(12 + 4 = 16\) (см) — большая.
Ответ: 1) 5 см и 12 см; 2) 12 см и 16 см.
1) Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 7 см. Найти катеты треугольника, если его гипотенуза равна 13 см. 2) Одна из сторон прямоугольника на 4 см меньше другой. Найти стороны прямоугольника, если он имеет диагональ 20 см.
1)
Дано:
треугольник прямоугольный
на 7 см — на столько один катет больше другого
13 см — гипотенуза
Найти: катеты треугольника.
Решение:
Пусть \(x\) см — меньший катет; тогда больший катет равен \((x + 7)\) см. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[x^2 + (x + 7)^2 = 13^2,\] \[2x^2 + 14x + 49 = 169,\] \[x^2 + 7x - 60 = 0.\] \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289.\] \[x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5.\] Длина стороны положительна, поэтому значение \(x = -12\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, меньший катет равен 5 см, а \(5 + 7 = 12\) (см) — больший катет.
2)
Дано:
прямоугольник
на 4 см — на столько одна сторона меньше другой
20 см — диагональ
Найти: стороны прямоугольника.
Решение:
Диагональ прямоугольника вместе с двумя его сторонами образует прямоугольный треугольник, в котором стороны прямоугольника — катеты, а диагональ — гипотенуза.
Пусть \(x\) см — меньшая сторона прямоугольника; тогда большая сторона равна \((x + 4)\) см. По теореме Пифагора \[x^2 + (x + 4)^2 = 20^2,\] \[2x^2 + 8x + 16 = 400,\] \[x^2 + 4x - 192 = 0.\] \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784.\] \[x_1 = \frac{-4 - 28}{2} = -16, \quad x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = 12.\] Длина стороны положительна, поэтому значение \(x = -16\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, меньшая сторона равна 12 см, а \(12 + 4 = 16\) (см) — большая сторона.
Ответ: 1) 5 см и 12 см; 2) 12 см и 16 см.
