Страница 79 номер 3.4.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Произведение двух чисел равно 96, а их сумма равна 20. Найти эти числа. 2) Разность двух натуральных чисел равна 6, а произведение равно 91. Найти эти числа.
1)
Дано:
96 — произведение двух чисел
20 — сумма этих чисел
Найти: эти числа.
Решение:
Пусть \(x\) и \(y\) — искомые числа: \[\begin{cases} x + y = 20, \\ xy = 96 \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 20 - x\); подставим во второе: \[x(20 - x) = 96, \quad x^2 - 20x + 96 = 0.\]
\(D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16\); \(x_1 = \frac{20 - 4}{2} = 8\), \(x_2 = \frac{20 + 4}{2} = 12\).
При \(x = 8\) получаем \(y = 12\), при \(x = 12\) — \(y = 8\): в обоих случаях это одна и та же пара чисел 8 и 12.
2)
Дано:
6 — разность двух натуральных чисел
91 — произведение этих чисел
Найти: эти числа.
Решение:
Пусть \(x\) и \(y\) — искомые натуральные числа, причём \(x - y = 6\): \[\begin{cases} x - y = 6, \\ xy = 91 \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = y + 6\); подставим во второе: \[(y + 6)y = 91, \quad y^2 + 6y - 91 = 0.\]
\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400\); \(y_1 = \frac{-6 - 20}{2} = -13\), \(y_2 = \frac{-6 + 20}{2} = 7\).
Значение \(y = -13\) не подходит: искомые числа натуральные. Значит, меньшее число равно 7, а большее равно \(7 + 6 = 13\).
Ответ: 1) 8 и 12; 2) 13 и 7.
1) Произведение двух чисел равно 96, а их сумма равна 20. Найти эти числа. 2) Разность двух натуральных чисел равна 6, а произведение равно 91. Найти эти числа.
1)
Дано:
96 — произведение двух чисел
20 — сумма этих чисел
Найти: эти числа.
Решение:
Пусть \(x\) и \(y\) — искомые числа. По условию их сумма равна 20, а произведение равно 96: \[\begin{cases} x + y = 20, \\ xy = 96 \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(y = 20 - x\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[x(20 - x) = 96,\] \[x^2 - 20x + 96 = 0.\] \[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16.\] \[x_1 = \frac{20 - 4}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{20 + 4}{2} = 12.\] При \(x = 8\) получаем \(y = 12\), при \(x = 12\) получаем \(y = 8\). В обоих случаях это одна и та же пара чисел: 8 и 12.
2)
Дано:
6 — разность двух натуральных чисел
91 — произведение этих чисел
Найти: эти числа.
Решение:
Пусть \(x\) и \(y\) — искомые натуральные числа, причём \(x - y = 6\). По условию их произведение равно 91: \[\begin{cases} x - y = 6, \\ xy = 91 \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(x = y + 6\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[(y + 6)y = 91,\] \[y^2 + 6y - 91 = 0.\] \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400.\] \[y_1 = \frac{-6 - 20}{2} = -13, \quad y_2 = \frac{-6 + 20}{2} = 7.\] Искомые числа натуральные, поэтому значение \(y = -13\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, меньшее число равно 7, а большее равно \(7 + 6 = 13\).
Ответ: 1) 8 и 12; 2) 13 и 7.
