Страница 79 номер 3.4.15, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) На перепечатку рукописи одной машинистке потребовалось бы на 2 ч больше, чем другой. Если бы они объединили усилия, то смогли бы, работая одновременно, перепечатать эту рукопись за 2 ч 24 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на перепечатку рукописи? 2) Мастер может побелить потолок в квартире на 4 ч быстрее, чем его ученик. Если они будут работать вместе, то справятся с работой за 2,1 ч. За какое время смогут побелить потолок мастер и ученик, если будут работать врозь?
1)
Дано:
на 2 ч больше — столько времени нужно первой машинистке по сравнению со второй
2 ч 24 мин — время работы двух машинисток вместе
Найти: время, которое потребуется на перепечатку рукописи каждой машинистке.
Решение:
2 ч 24 мин \(= 2{,}4\) ч.
Примем рукопись за единицу. Пусть \(x\) ч — время второй машинистки; тогда первой нужно \((x + 2)\) ч. За час вторая перепечатывает \(\frac{1}{x}\) рукописи, первая — \(\frac{1}{x + 2}\), а вместе \(\frac{1}{2{,}4}\): \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2{,}4}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим на \(2{,}4x(x + 2)\): \[2{,}4(x + 2) + 2{,}4x = x(x + 2), \quad 4{,}8x + 4{,}8 = x^2 + 2x, \quad x^2 - 2{,}8x - 4{,}8 = 0.\]
\(D = (-2{,}8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4{,}8) = 7{,}84 + 19{,}2 = 27{,}04\); \(x_1 = \frac{2{,}8 - 5{,}2}{2} = -1{,}2\), \(x_2 = \frac{2{,}8 + 5{,}2}{2} = 4\).
Значение \(x = -1{,}2\) не подходит: время работы положительно. Значит, второй машинистке потребуется 4 ч, а \(4 + 2 = 6\) (ч) — время первой.
2)
Дано:
на 4 ч быстрее — настолько быстрее белит потолок мастер по сравнению с учеником
\(2{,}1\) ч — время работы мастера и ученика вместе
Найти: время, за которое побелит потолок каждый из них, работая врозь.
Решение:
Примем работу за единицу. Пусть \(x\) ч — время мастера; тогда ученику нужно \((x + 4)\) ч. За час мастер белит \(\frac{1}{x}\) потолка, ученик — \(\frac{1}{x + 4}\), а вместе \(\frac{1}{2{,}1}\): \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{2{,}1}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -4\). Умножим на \(2{,}1x(x + 4)\): \[2{,}1(x + 4) + 2{,}1x = x(x + 4), \quad 4{,}2x + 8{,}4 = x^2 + 4x, \quad x^2 - 0{,}2x - 8{,}4 = 0.\]
\(D = (-0{,}2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8{,}4) = 0{,}04 + 33{,}6 = 33{,}64\); \(x_1 = \frac{0{,}2 - 5{,}8}{2} = -2{,}8\), \(x_2 = \frac{0{,}2 + 5{,}8}{2} = 3\).
Значение \(x = -2{,}8\) не подходит: время работы положительно. Значит, мастер побелит потолок за 3 ч, а \(3 + 4 = 7\) (ч) — время ученика.
Ответ: 1) 4 ч потребуется второй машинистке, 6 ч — первой; 2) 3 ч потребуется мастеру, 7 ч — ученику.
1) На перепечатку рукописи одной машинистке потребовалось бы на 2 ч больше, чем другой. Если бы они объединили усилия, то смогли бы, работая одновременно, перепечатать эту рукопись за 2 ч 24 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на перепечатку рукописи? 2) Мастер может побелить потолок в квартире на 4 ч быстрее, чем его ученик. Если они будут работать вместе, то справятся с работой за 2,1 ч. За какое время смогут побелить потолок мастер и ученик, если будут работать врозь?
1)
Дано:
на 2 ч больше — столько времени нужно первой машинистке по сравнению со второй
2 ч 24 мин — время работы двух машинисток вместе
Найти: время, которое потребуется на перепечатку рукописи каждой машинистке.
Решение:
2 ч 24 мин \(= 2{,}4\) ч.
Примем всю рукопись за единицу. Пусть \(x\) ч — время, за которое перепечатает рукопись вторая машинистка; тогда первой машинистке нужно \((x + 2)\) ч. За час вторая машинистка перепечатывает \(\frac{1}{x}\) рукописи, первая — \(\frac{1}{x + 2}\) рукописи, а вместе они за час перепечатывают \(\frac{1}{2{,}4}\) рукописи. Поэтому \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2{,}4}.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим обе части уравнения на \(2{,}4x(x + 2)\): \[2{,}4(x + 2) + 2{,}4x = x(x + 2),\] \[4{,}8x + 4{,}8 = x^2 + 2x,\] \[x^2 - 2{,}8x - 4{,}8 = 0.\] \[D = (-2{,}8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4{,}8) = 7{,}84 + 19{,}2 = 27{,}04.\] \[x_1 = \frac{2{,}8 - 5{,}2}{2} = -1{,}2, \quad x_2 = \frac{2{,}8 + 5{,}2}{2} = 4.\] Время работы положительно, поэтому значение \(x = -1{,}2\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, второй машинистке потребуется 4 ч, а \(4 + 2 = 6\) (ч) — время первой машинистки.
2)
Дано:
на 4 ч быстрее — настолько быстрее белит потолок мастер по сравнению с учеником
\(2{,}1\) ч — время работы мастера и ученика вместе
Найти: время, за которое побелит потолок каждый из них, работая врозь.
Решение:
Примем всю работу за единицу. Пусть \(x\) ч — время, за которое побелит потолок мастер; тогда ученику нужно \((x + 4)\) ч. За час мастер белит \(\frac{1}{x}\) потолка, ученик — \(\frac{1}{x + 4}\) потолка, а вместе они за час белят \(\frac{1}{2{,}1}\) потолка. Поэтому \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{2{,}1}.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -4\). Умножим обе части уравнения на \(2{,}1x(x + 4)\): \[2{,}1(x + 4) + 2{,}1x = x(x + 4),\] \[4{,}2x + 8{,}4 = x^2 + 4x,\] \[x^2 - 0{,}2x - 8{,}4 = 0.\] \[D = (-0{,}2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8{,}4) = 0{,}04 + 33{,}6 = 33{,}64.\] \[x_1 = \frac{0{,}2 - 5{,}8}{2} = -2{,}8, \quad x_2 = \frac{0{,}2 + 5{,}8}{2} = 3.\] Время работы положительно, поэтому значение \(x = -2{,}8\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, мастер побелит потолок за 3 ч, а \(3 + 4 = 7\) (ч) — время ученика.
Ответ: 1) 4 ч потребуется второй машинистке, 6 ч — первой; 2) 3 ч потребуется мастеру, 7 ч — ученику.
