Страница 79 номер 3.4.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Прогулочный катер на маршрут от пристани A до пристани Б по течению реки и на обратный путь затратил 5 ч. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость реки 3 км/ч, а расстояние между пристанями A и Б равно 36 км? 2) Моторная лодка проплыла 45 км по течению реки и вернулась обратно за 8 ч. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки 3 км/ч?
1)
Дано:
36 км — расстояние между пристанями
3 км/ч — скорость течения реки
5 ч — время на путь туда и обратно
Найти: скорость катера в стоячей воде.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде; по течению — \((x + 3)\) км/ч, против течения — \((x - 3)\) км/ч. Время: \(\frac{36}{x + 3}\) ч и \(\frac{36}{x - 3}\) ч, а всего 5 ч: \[\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\). Умножим на \((x + 3)(x - 3)\): \[36(x - 3) + 36(x + 3) = 5(x^2 - 9), \quad 72x = 5x^2 - 45, \quad 5x^2 - 72x - 45 = 0.\]
\(D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084\); \(x_1 = \frac{72 - 78}{10} = -0{,}6\), \(x_2 = \frac{72 + 78}{10} = 15\).
Значение \(x = -0{,}6\) не подходит: скорость катера больше скорости течения. Значит, скорость катера в стоячей воде 15 км/ч.
2)
Дано:
45 км — расстояние, пройденное по течению реки
столько же — расстояние, пройденное против течения
3 км/ч — скорость течения реки
8 ч — время на путь туда и обратно
Найти: собственную скорость моторной лодки.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость лодки; по течению — \((x + 3)\) км/ч, против течения — \((x - 3)\) км/ч. Время: \(\frac{45}{x + 3}\) ч и \(\frac{45}{x - 3}\) ч, а всего 8 ч: \[\frac{45}{x + 3} + \frac{45}{x - 3} = 8.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\). Умножим на \((x + 3)(x - 3)\): \[45(x - 3) + 45(x + 3) = 8(x^2 - 9), \quad 90x = 8x^2 - 72, \quad 8x^2 - 90x - 72 = 0, \quad 4x^2 - 45x - 36 = 0.\]
\(D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601\); \(x_1 = \frac{45 - 51}{8} = -0{,}75\), \(x_2 = \frac{45 + 51}{8} = 12\).
Значение \(x = -0{,}75\) не подходит: скорость лодки больше скорости течения. Значит, собственная скорость моторной лодки 12 км/ч.
Ответ: 1) 15 км/ч; 2) 12 км/ч.
1) Прогулочный катер на маршрут от пристани A до пристани Б по течению реки и на обратный путь затратил 5 ч. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость реки 3 км/ч, а расстояние между пристанями A и Б равно 36 км? 2) Моторная лодка проплыла 45 км по течению реки и вернулась обратно за 8 ч. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки 3 км/ч?
1)
Дано:
36 км — расстояние между пристанями
3 км/ч — скорость течения реки
5 ч — время на путь туда и обратно
Найти: скорость катера в стоячей воде.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде; тогда скорость катера по течению равна \((x + 3)\) км/ч, а против течения — \((x - 3)\) км/ч. По течению 36 км катер прошёл за \(\frac{36}{x + 3}\) ч, против течения — за \(\frac{36}{x - 3}\) ч. На весь путь ушло 5 ч, поэтому \[\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\). Умножим обе части уравнения на \((x + 3)(x - 3)\): \[36(x - 3) + 36(x + 3) = 5(x^2 - 9),\] \[72x = 5x^2 - 45,\] \[5x^2 - 72x - 45 = 0.\] \[D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084.\] \[x_1 = \frac{72 - 78}{10} = -0{,}6, \quad x_2 = \frac{72 + 78}{10} = 15.\] Скорость катера в стоячей воде больше скорости течения реки, поэтому значение \(x = -0{,}6\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.
2)
Дано:
45 км — расстояние, пройденное по течению реки
столько же — расстояние, пройденное против течения
3 км/ч — скорость течения реки
8 ч — время на путь туда и обратно
Найти: собственную скорость моторной лодки.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость моторной лодки; тогда скорость лодки по течению равна \((x + 3)\) км/ч, а против течения — \((x - 3)\) км/ч. По течению 45 км лодка прошла за \(\frac{45}{x + 3}\) ч, против течения — за \(\frac{45}{x - 3}\) ч. На весь путь ушло 8 ч, поэтому \[\frac{45}{x + 3} + \frac{45}{x - 3} = 8.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\). Умножим обе части уравнения на \((x + 3)(x - 3)\): \[45(x - 3) + 45(x + 3) = 8(x^2 - 9),\] \[90x = 8x^2 - 72,\] \[8x^2 - 90x - 72 = 0,\] \[4x^2 - 45x - 36 = 0.\] \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601.\] \[x_1 = \frac{45 - 51}{8} = -0{,}75, \quad x_2 = \frac{45 + 51}{8} = 12.\] Собственная скорость лодки больше скорости течения реки, поэтому значение \(x = -0{,}75\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, собственная скорость моторной лодки равна 12 км/ч.
Ответ: 1) 15 км/ч; 2) 12 км/ч.
