Страница 79 номер 3.4.13, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Расстояние от Москвы до Тулы, равное 200 км, пассажирский поезд прошёл на 1 ч быстрее, чем товарный. Какова скорость каждого поезда, если скорость пассажирского на 10 км/ч больше, чем скорость товарного? 2) От дома до дачи автомобилист ехал со скоростью, на 20 км/ч большей, чем обратно, и затратил на обратную дорогу на 30 мин больше. С какой скоростью ехал автомобилист от дома до дачи, расстояние между которыми 120 км?
1)
Дано:
200 км — расстояние от Москвы до Тулы
на 10 км/ч — на столько скорость пассажирского поезда больше скорости товарного
на 1 ч — на столько меньше времени затратил на этот путь пассажирский поезд
Найти: скорость каждого поезда.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость товарного поезда; скорость пассажирского поезда — \((x + 10)\) км/ч. Время: \(\frac{200}{x}\) ч и \(\frac{200}{x + 10}\) ч, причём пассажирский был в пути на 1 ч меньше: \[\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 10} = 1.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -10\). Умножим на \(x(x + 10)\): \[200(x + 10) - 200x = x(x + 10), \quad 2000 = x^2 + 10x, \quad x^2 + 10x - 2000 = 0.\]
\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100\); \(x_1 = \frac{-10 - 90}{2} = -50\), \(x_2 = \frac{-10 + 90}{2} = 40\).
Значение \(x = -50\) не подходит: скорость поезда положительна. Значит, скорость товарного поезда 40 км/ч, а \(40 + 10 = 50\) (км/ч) — скорость пассажирского.
2)
Дано:
120 км — расстояние от дома до дачи
на 20 км/ч — на столько скорость по дороге на дачу больше скорости на обратном пути
на 30 мин — на столько больше времени затрачено на обратный путь
Найти: скорость автомобилиста по дороге от дома до дачи.
Решение:
30 мин \(= 0{,}5\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость на обратном пути; скорость от дома до дачи — \((x + 20)\) км/ч. Время: \(\frac{120}{x + 20}\) ч туда и \(\frac{120}{x}\) ч обратно, причём обратно на \(0{,}5\) ч больше: \[\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 0{,}5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -20\). Умножим на \(x(x + 20)\): \[120(x + 20) - 120x = 0{,}5x(x + 20), \quad 2400 = 0{,}5x^2 + 10x, \quad x^2 + 20x - 4800 = 0.\]
\(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19\,200 = 19\,600\); \(x_1 = \frac{-20 - 140}{2} = -80\), \(x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60\).
Значение \(x = -80\) не подходит: скорость автомобиля положительна. Значит, на обратном пути скорость была 60 км/ч, а \(60 + 20 = 80\) (км/ч) — скорость от дома до дачи.
Ответ: 1) 40 км/ч — скорость товарного поезда, 50 км/ч — скорость пассажирского поезда; 2) 80 км/ч.
1) Расстояние от Москвы до Тулы, равное 200 км, пассажирский поезд прошёл на 1 ч быстрее, чем товарный. Какова скорость каждого поезда, если скорость пассажирского на 10 км/ч больше, чем скорость товарного? 2) От дома до дачи автомобилист ехал со скоростью, на 20 км/ч большей, чем обратно, и затратил на обратную дорогу на 30 мин больше. С какой скоростью ехал автомобилист от дома до дачи, расстояние между которыми 120 км?
1)
Дано:
200 км — расстояние от Москвы до Тулы
на 10 км/ч — на столько скорость пассажирского поезда больше скорости товарного
на 1 ч — на столько меньше времени затратил на этот путь пассажирский поезд
Найти: скорость каждого поезда.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость товарного поезда; тогда скорость пассажирского поезда равна \((x + 10)\) км/ч. Товарный поезд прошёл 200 км за \(\frac{200}{x}\) ч, а пассажирский — за \(\frac{200}{x + 10}\) ч. По условию пассажирский поезд был в пути на 1 ч меньше, поэтому \[\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 10} = 1.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -10\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 10)\): \[200(x + 10) - 200x = x(x + 10),\] \[2000 = x^2 + 10x,\] \[x^2 + 10x - 2000 = 0.\] \[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100.\] \[x_1 = \frac{-10 - 90}{2} = -50, \quad x_2 = \frac{-10 + 90}{2} = 40.\] Скорость поезда положительна, поэтому значение \(x = -50\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, скорость товарного поезда равна 40 км/ч, а \(40 + 10 = 50\) (км/ч) — скорость пассажирского поезда.
2)
Дано:
120 км — расстояние от дома до дачи
на 20 км/ч — на столько скорость по дороге на дачу больше скорости на обратном пути
на 30 мин — на столько больше времени затрачено на обратный путь
Найти: скорость автомобилиста по дороге от дома до дачи.
Решение:
30 мин \(= 0{,}5\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость автомобилиста на обратном пути; тогда от дома до дачи он ехал со скоростью \((x + 20)\) км/ч. На дорогу от дома до дачи ушло \(\frac{120}{x + 20}\) ч, на обратную дорогу — \(\frac{120}{x}\) ч, причём на обратную дорогу ушло на \(0{,}5\) ч больше. Поэтому \[\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 0{,}5.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -20\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 20)\): \[120(x + 20) - 120x = 0{,}5x(x + 20),\] \[2400 = 0{,}5x^2 + 10x,\] \[x^2 + 20x - 4800 = 0.\] \[D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19\,200 = 19\,600.\] \[x_1 = \frac{-20 - 140}{2} = -80, \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60.\] Скорость автомобиля положительна, поэтому значение \(x = -80\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, на обратном пути скорость была 60 км/ч, а \(60 + 20 = 80\) (км/ч) — скорость от дома до дачи.
Ответ: 1) 40 км/ч — скорость товарного поезда, 50 км/ч — скорость пассажирского поезда; 2) 80 км/ч.
