Страница 78 номер 3.4.12, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Числитель несократимой обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 1 и знаменатель уменьшить на 1, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найти эту дробь. 2) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если числитель дроби увеличить на 1, а знаменатель — на 2, то дробь увеличится на \(\frac{1}{35}\). Найти эту дробь.
1) Пусть \(x\) — числитель; тогда знаменатель равен \(x + 1\), дробь равна \(\frac{x}{x + 1}\), а после уменьшения числителя и знаменателя на 1 получится дробь \(\frac{x - 1}{x}\), которая меньше данной на \(\frac{1}{6}\): \[\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{6}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(x \ne 0\). Умножим на \(6x(x + 1)\): \[6x^2 - 6(x - 1)(x + 1) = x(x + 1), \quad 6x^2 - 6x^2 + 6 = x^2 + x, \quad x^2 + x - 6 = 0.\]
\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\); \(x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\) — знаменатели они в нуль не обращают.
Значение \(x = -3\) не подходит: числитель обыкновенной дроби — натуральное число. Значит, числитель 2, знаменатель 3, искомая дробь \(\frac{2}{3}\); она несократима.
Проверка: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\).
2) Пусть \(x\) — числитель; тогда знаменатель равен \(x + 3\), дробь равна \(\frac{x}{x + 3}\), а после увеличения числителя на 1, а знаменателя на 2 получится дробь \(\frac{x + 1}{x + 5}\), которая больше данной на \(\frac{1}{35}\): \[\frac{x + 1}{x + 5} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{35}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -5\) и \(x \ne -3\). Умножим на \(35(x + 5)(x + 3)\): \[35(x + 1)(x + 3) - 35x(x + 5) = (x + 5)(x + 3), \quad -35x + 105 = x^2 + 8x + 15, \quad x^2 + 43x - 90 = 0.\]
\(D = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1849 + 360 = 2209\); \(x_1 = \frac{-43 - 47}{2} = -45\), \(x_2 = \frac{-43 + 47}{2} = 2\) — знаменатели они в нуль не обращают.
Значение \(x = -45\) не подходит: числитель обыкновенной дроби — натуральное число. Значит, числитель 2, знаменатель 5, искомая дробь \(\frac{2}{5}\); она несократима.
Проверка: \(\frac{3}{7} - \frac{2}{5} = \frac{15}{35} - \frac{14}{35} = \frac{1}{35}\).
Ответ: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{2}{5}\).
1) Числитель несократимой обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 1 и знаменатель уменьшить на 1, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найти эту дробь. 2) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если числитель дроби увеличить на 1, а знаменатель — на 2, то дробь увеличится на \(\frac{1}{35}\). Найти эту дробь.
1) Пусть числитель дроби равен \(x\); тогда её знаменатель равен \(x + 1\), а сама дробь равна \(\frac{x}{x + 1}\). После уменьшения числителя и знаменателя на 1 получится дробь \(\frac{x - 1}{x}\). По условию она меньше данной дроби на \(\frac{1}{6}\), поэтому \[\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{6}.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(x \ne 0\). Умножим обе части уравнения на \(6x(x + 1)\): \[6x^2 - 6(x - 1)(x + 1) = x(x + 1),\] \[6x^2 - 6x^2 + 6 = x^2 + x,\] \[x^2 + x - 6 = 0.\] \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.\] \[x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.\] Оба числа не обращают знаменатели в нуль. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому значение \(x = -3\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, числитель равен 2, знаменатель равен 3, а искомая дробь равна \(\frac{2}{3}\); она несократима.
Проверка: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\).
2) Пусть числитель дроби равен \(x\); тогда её знаменатель равен \(x + 3\), а сама дробь равна \(\frac{x}{x + 3}\). После увеличения числителя на 1, а знаменателя на 2 получится дробь \(\frac{x + 1}{x + 5}\). По условию она больше данной дроби на \(\frac{1}{35}\), поэтому \[\frac{x + 1}{x + 5} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{35}.\] Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -5\) и \(x \ne -3\). Умножим обе части уравнения на \(35(x + 5)(x + 3)\): \[35(x + 1)(x + 3) - 35x(x + 5) = (x + 5)(x + 3),\] \[-35x + 105 = x^2 + 8x + 15,\] \[x^2 + 43x - 90 = 0.\] \[D = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1849 + 360 = 2209.\] \[x_1 = \frac{-43 - 47}{2} = -45, \quad x_2 = \frac{-43 + 47}{2} = 2.\] Оба числа не обращают знаменатели в нуль. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому значение \(x = -45\) условию задачи не удовлетворяет. Значит, числитель равен 2, знаменатель равен 5, а искомая дробь равна \(\frac{2}{5}\); она несократима.
Проверка: \(\frac{3}{7} - \frac{2}{5} = \frac{15}{35} - \frac{14}{35} = \frac{1}{35}\).
Ответ: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{2}{5}\).
