Страница 78 номер 3.4.11, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить графически и аналитически систему: 1) \(\begin{cases}y - x^2 = 3,\\ y - x = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2 - y = 1,\\ x - y = -1;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 25,\\ x - y = 5;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 9,\\ x + y = 3.\end{cases}\)
График первого уравнения каждой системы — парабола или окружность, второго — прямая; решения системы — координаты общих точек этих линий.
1) \(y = x^2 + 3\) — парабола, \(y = x + 3\) — прямая.
2) \(y = x^2 - 1\) — парабола, \(y = x + 1\) — прямая.
3) \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность с центром в начале координат радиуса 5, \(y = x - 5\) — прямая.
4) \(x^2 + y^2 = 9\) — окружность с центром в начале координат радиуса 3, \(y = 3 - x\) — прямая.
Построим эти линии.
Линии пересекаются: в пункте 1) в точках \((0;\ 3)\) и \((1;\ 4)\); в пункте 2) — в точках \((-1;\ 0)\) и \((2;\ 3)\); в пункте 3) — в точках \((0;\ -5)\) и \((5;\ 0)\); в пункте 4) — в точках \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\).
Решим те же системы способом подстановки.
1) Из второго уравнения \(y = x + 3\); тогда \(x + 3 - x^2 = 3\), \(x^2 - x = 0\), \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\); \(y = x + 3\) даёт \(y = 3\) и \(y = 4\).
2) Из второго уравнения \(y = x + 1\); тогда \(x^2 - (x + 1) = 1\), то есть \(x^2 - x - 2 = 0\), где \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9\), \(x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\); \(y = x + 1\) даёт \(y = 0\) и \(y = 3\).
3) Из второго уравнения \(y = x - 5\); тогда \(x^2 + (x - 5)^2 = 25\), \(2x^2 - 10x = 0\), \(2x(x - 5) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 5\); \(y = x - 5\) даёт \(y = -5\) и \(y = 0\).
4) Из второго уравнения \(y = 3 - x\); тогда \(x^2 + (3 - x)^2 = 9\), \(2x^2 - 6x = 0\), \(2x(x - 3) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 3\); \(y = 3 - x\) даёт \(y = 3\) и \(y = 0\).
Ответ: 1) \((0;\ 3)\), \((1;\ 4)\); 2) \((-1;\ 0)\), \((2;\ 3)\); 3) \((0;\ -5)\), \((5;\ 0)\); 4) \((0;\ 3)\), \((3;\ 0)\).
Решить графически и аналитически систему: 1) \(\begin{cases}y - x^2 = 3,\\ y - x = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2 - y = 1,\\ x - y = -1;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 25,\\ x - y = 5;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 9,\\ x + y = 3.\end{cases}\)
В каждой системе графиком первого уравнения является парабола или окружность, а графиком второго — прямая; решения системы — координаты общих точек этих двух линий.
1) \(y = x^2 + 3\) — парабола, \(y = x + 3\) — прямая.
2) \(y = x^2 - 1\) — парабола, \(y = x + 1\) — прямая.
3) \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность с центром в начале координат радиуса 5, \(y = x - 5\) — прямая.
4) \(x^2 + y^2 = 9\) — окружность с центром в начале координат радиуса 3, \(y = 3 - x\) — прямая.
Построим эти линии.
Линии пересекаются: в пункте 1) в точках \((0;\ 3)\) и \((1;\ 4)\); в пункте 2) — в точках \((-1;\ 0)\) и \((2;\ 3)\); в пункте 3) — в точках \((0;\ -5)\) и \((5;\ 0)\); в пункте 4) — в точках \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\).
Решим те же системы аналитически — способом подстановки.
1) Из второго уравнения \(y = x + 3\); подставим это выражение в первое уравнение: \[x + 3 - x^2 = 3,\] \[x^2 - x = 0,\] \[x(x - 1) = 0.\] Значит, \(x = 0\) или \(x = 1\). По формуле \(y = x + 3\) находим: при \(x = 0\) получаем \(y = 3\); при \(x = 1\) получаем \(y = 4\).
2) Из второго уравнения \(y = x + 1\); подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 - (x + 1) = 1,\] \[x^2 - x - 2 = 0.\] \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.\] \[x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.\] По формуле \(y = x + 1\) находим: при \(x = -1\) получаем \(y = 0\); при \(x = 2\) получаем \(y = 3\).
3) Из второго уравнения \(y = x - 5\); подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + (x - 5)^2 = 25,\] \[2x^2 - 10x = 0,\] \[2x(x - 5) = 0.\] Значит, \(x = 0\) или \(x = 5\). По формуле \(y = x - 5\) находим: при \(x = 0\) получаем \(y = -5\); при \(x = 5\) получаем \(y = 0\).
4) Из второго уравнения \(y = 3 - x\); подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + (3 - x)^2 = 9,\] \[2x^2 - 6x = 0,\] \[2x(x - 3) = 0.\] Значит, \(x = 0\) или \(x = 3\). По формуле \(y = 3 - x\) находим: при \(x = 0\) получаем \(y = 3\); при \(x = 3\) получаем \(y = 0\).
Ответ: 1) \((0;\ 3)\), \((1;\ 4)\); 2) \((-1;\ 0)\), \((2;\ 3)\); 3) \((0;\ -5)\), \((5;\ 0)\); 4) \((0;\ 3)\), \((3;\ 0)\).
