Страницы 70-71 номер 3.3.8, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение методом выделения полного квадрата: 1) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); 2) \(x^2 - 2x - 24 = 0\); 3) \(x^2 - 4x + 3 = 0\); 4) \(x^2 - 6x - 7 = 0\); 5) \(y^2 + 4y - 12 = 0\); 6) \(y^2 + 6y - 16 = 0\); 7) \(4x^2 + 4x - 3 = 0\); 8) \(9x^2 + 6x - 8 = 0\); 9) \(x^2 - 2x - 3 = 0\); 10) \(x^2 + 2x - 5 = 0\); 11) \(x^2 + 6x + 7 = 0\); 12) \(x^2 - 4x + 2 = 0\).
1) \(x^2 + 2x - 8 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 8 = 0\), \((x + 1)^2 = 9\); отсюда \(x + 1 = -3\) или \(x + 1 = 3\), то есть \(x = -4\) или \(x = 2\);
2) \(x^2 - 2x - 24 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 24 = 0\), \((x - 1)^2 = 25\); отсюда \(x - 1 = -5\) или \(x - 1 = 5\), то есть \(x = -4\) или \(x = 6\);
3) \(x^2 - 4x + 3 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 3 = 0\), \((x - 2)^2 = 1\); отсюда \(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\), то есть \(x = 1\) или \(x = 3\);
4) \(x^2 - 6x - 7 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 7 = 0\), \((x - 3)^2 = 16\); отсюда \(x - 3 = -4\) или \(x - 3 = 4\), то есть \(x = -1\) или \(x = 7\);
5) \(y^2 + 4y - 12 = 0\), \(y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 - 2^2 - 12 = 0\), \((y + 2)^2 = 16\); отсюда \(y + 2 = -4\) или \(y + 2 = 4\), то есть \(y = -6\) или \(y = 2\);
6) \(y^2 + 6y - 16 = 0\), \(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 16 = 0\), \((y + 3)^2 = 25\); отсюда \(y + 3 = -5\) или \(y + 3 = 5\), то есть \(y = -8\) или \(y = 2\);
7) \(4x^2 + 4x - 3 = 0\); разделим обе части на 4: \(x^2 + x - \frac{3}{4} = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} = 0\), \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 1\); отсюда \(x + \frac{1}{2} = -1\) или \(x + \frac{1}{2} = 1\), то есть \(x = -1{,}5\) или \(x = 0{,}5\);
8) \(9x^2 + 6x - 8 = 0\); разделим обе части на 9: \(x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{8}{9} = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{8}{9} = 0\), \(\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 = 1\); отсюда \(x + \frac{1}{3} = -1\) или \(x + \frac{1}{3} = 1\), то есть \(x = -1\frac{1}{3}\) или \(x = \frac{2}{3}\);
9) \(x^2 - 2x - 3 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 3 = 0\), \((x - 1)^2 = 4\); отсюда \(x - 1 = -2\) или \(x - 1 = 2\), то есть \(x = -1\) или \(x = 3\);
10) \(x^2 + 2x - 5 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 5 = 0\), \((x + 1)^2 = 6\); отсюда \(x + 1 = -\sqrt{6}\) или \(x + 1 = \sqrt{6}\), то есть \(x = -1 - \sqrt{6}\) или \(x = -1 + \sqrt{6}\);
11) \(x^2 + 6x + 7 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 7 = 0\), \((x + 3)^2 = 2\); отсюда \(x + 3 = -\sqrt{2}\) или \(x + 3 = \sqrt{2}\), то есть \(x = -3 - \sqrt{2}\) или \(x = -3 + \sqrt{2}\);
12) \(x^2 - 4x + 2 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 2 = 0\), \((x - 2)^2 = 2\); отсюда \(x - 2 = -\sqrt{2}\) или \(x - 2 = \sqrt{2}\), то есть \(x = 2 - \sqrt{2}\) или \(x = 2 + \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(-4\); 2; 2) \(-4\); 6; 3) 1; 3; 4) \(-1\); 7; 5) \(-6\); 2; 6) \(-8\); 2; 7) \(-1{,}5\); \(0{,}5\); 8) \(-1\frac{1}{3}\); \(\frac{2}{3}\); 9) \(-1\); 3; 10) \(-1 - \sqrt{6}\); \(-1 + \sqrt{6}\); 11) \(-3 - \sqrt{2}\); \(-3 + \sqrt{2}\); 12) \(2 - \sqrt{2}\); \(2 + \sqrt{2}\).
Решить уравнение методом выделения полного квадрата: 1) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); 2) \(x^2 - 2x - 24 = 0\); 3) \(x^2 - 4x + 3 = 0\); 4) \(x^2 - 6x - 7 = 0\); 5) \(y^2 + 4y - 12 = 0\); 6) \(y^2 + 6y - 16 = 0\); 7) \(4x^2 + 4x - 3 = 0\); 8) \(9x^2 + 6x - 8 = 0\); 9) \(x^2 - 2x - 3 = 0\); 10) \(x^2 + 2x - 5 = 0\); 11) \(x^2 + 6x + 7 = 0\); 12) \(x^2 - 4x + 2 = 0\).
Выделим в левой части квадрат двучлена: удвоенное произведение представим в виде \(2 \cdot x \cdot m\), прибавим и вычтем \(m^2\), после чего перенесём свободные слагаемые в правую часть. В пунктах 7) и 8) обе части предварительно делятся на первый коэффициент.
1) \(x^2 + 2x - 8 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 8 = 0\), \((x + 1)^2 = 9\); отсюда \(x + 1 = -3\) или \(x + 1 = 3\), то есть \(x = -4\) или \(x = 2\);
2) \(x^2 - 2x - 24 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 24 = 0\), \((x - 1)^2 = 25\); отсюда \(x - 1 = -5\) или \(x - 1 = 5\), то есть \(x = -4\) или \(x = 6\);
3) \(x^2 - 4x + 3 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 3 = 0\), \((x - 2)^2 = 1\); отсюда \(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\), то есть \(x = 1\) или \(x = 3\);
4) \(x^2 - 6x - 7 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 7 = 0\), \((x - 3)^2 = 16\); отсюда \(x - 3 = -4\) или \(x - 3 = 4\), то есть \(x = -1\) или \(x = 7\);
5) \(y^2 + 4y - 12 = 0\), \(y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 - 2^2 - 12 = 0\), \((y + 2)^2 = 16\); отсюда \(y + 2 = -4\) или \(y + 2 = 4\), то есть \(y = -6\) или \(y = 2\);
6) \(y^2 + 6y - 16 = 0\), \(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 16 = 0\), \((y + 3)^2 = 25\); отсюда \(y + 3 = -5\) или \(y + 3 = 5\), то есть \(y = -8\) или \(y = 2\);
7) \(4x^2 + 4x - 3 = 0\); разделим обе части на 4: \(x^2 + x - \frac{3}{4} = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} = 0\), \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 1\); отсюда \(x + \frac{1}{2} = -1\) или \(x + \frac{1}{2} = 1\), то есть \(x = -1{,}5\) или \(x = 0{,}5\);
8) \(9x^2 + 6x - 8 = 0\); разделим обе части на 9: \(x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{8}{9} = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{8}{9} = 0\), \(\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 = 1\); отсюда \(x + \frac{1}{3} = -1\) или \(x + \frac{1}{3} = 1\), то есть \(x = -1\frac{1}{3}\) или \(x = \frac{2}{3}\);
9) \(x^2 - 2x - 3 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 3 = 0\), \((x - 1)^2 = 4\); отсюда \(x - 1 = -2\) или \(x - 1 = 2\), то есть \(x = -1\) или \(x = 3\);
10) \(x^2 + 2x - 5 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 5 = 0\), \((x + 1)^2 = 6\); отсюда \(x + 1 = -\sqrt{6}\) или \(x + 1 = \sqrt{6}\), то есть \(x = -1 - \sqrt{6}\) или \(x = -1 + \sqrt{6}\);
11) \(x^2 + 6x + 7 = 0\), \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 7 = 0\), \((x + 3)^2 = 2\); отсюда \(x + 3 = -\sqrt{2}\) или \(x + 3 = \sqrt{2}\), то есть \(x = -3 - \sqrt{2}\) или \(x = -3 + \sqrt{2}\);
12) \(x^2 - 4x + 2 = 0\), \(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 2 = 0\), \((x - 2)^2 = 2\); отсюда \(x - 2 = -\sqrt{2}\) или \(x - 2 = \sqrt{2}\), то есть \(x = 2 - \sqrt{2}\) или \(x = 2 + \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(-4\); 2; 2) \(-4\); 6; 3) 1; 3; 4) \(-1\); 7; 5) \(-6\); 2; 6) \(-8\); 2; 7) \(-1{,}5\); \(0{,}5\); 8) \(-1\frac{1}{3}\); \(\frac{2}{3}\); 9) \(-1\); 3; 10) \(-1 - \sqrt{6}\); \(-1 + \sqrt{6}\); 11) \(-3 - \sqrt{2}\); \(-3 + \sqrt{2}\); 12) \(2 - \sqrt{2}\); \(2 + \sqrt{2}\).
