Страница 76 номер 3.3.54, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение: 1) \(x^2 - 2ax + a^2 - 2{,}25 = 0\); 2) \(x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0\); 3) \(x^2 - 3bx + 2b^2 = 0\); 4) \((b^2 + 2b)x^2 = 9 - (1 - 4b)x^2\); 5) \(nx^2 - (n + 1)x + 1 = 0\); 6) \(x^2 + 1 = m(x^2 - 1) - 2x\).
1) \(D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2{,}25) = 4a^2 - 4a^2 + 9 = 9\) — положителен при любом \(a\), поэтому корней два: \[x = \frac{2a \pm 3}{2}; \quad x_1 = a - 1{,}5, \quad x_2 = a + 1{,}5.\]
2) \(D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 1) = 4a^2 - 4a^2 - 4 = -4\) — отрицателен при любом \(a\), поэтому корней нет ни при каком \(a\).
3) \(D = (-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2b^2 = 9b^2 - 8b^2 = b^2\) — неотрицателен при любом \(b\), корни есть всегда. Так как \(\sqrt{b^2} = |b|\), а знак \(\pm\) перед \(|b|\) даёт те же два числа, что и перед \(b\), то \[x = \frac{3b \pm b}{2}; \quad x_1 = 2b, \quad x_2 = b.\]
При \(b = 0\) оба значения равны нулю — единственный корень 0.
4) Перенесём слагаемое с \(x^2\) в левую часть и вынесем \(x^2\) за скобки: \[(b^2 + 2b)x^2 + (1 - 4b)x^2 = 9, \quad (b^2 - 2b + 1)x^2 = 9, \quad (b - 1)^2x^2 = 9.\]
Если \(b = 1\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x^2 = 9\) и корней не имеет.
Если \(b \ne 1\), то \(\left((b - 1)x\right)^2 = 9\), откуда \((b - 1)x = 3\) или \((b - 1)x = -3\), и после деления на отличное от нуля число \(b - 1\) \[x_1 = \frac{3}{b - 1}, \quad x_2 = -\frac{3}{b - 1}.\]
5) Если \(n = 0\), уравнение принимает вид \(-x + 1 = 0\): оно не квадратное и имеет единственный корень \(x = 1\).
Если \(n \ne 0\), то \[D = \left(-(n + 1)\right)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = n^2 + 2n + 1 - 4n = n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2 \geqslant 0.\]
Так как \(\sqrt{(n-1)^2} = |n - 1|\), а знак \(\pm\) перед \(|n - 1|\) даёт те же два числа, что и перед \(n - 1\), то \[x = \frac{(n + 1) \pm (n - 1)}{2n}; \quad x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{n}.\]
При \(n = 1\) оба значения равны 1 — единственный корень 1.
6) Раскроем скобки и перенесём все члены в левую часть: \[x^2 + 1 = mx^2 - m - 2x, \quad (1 - m)x^2 + 2x + 1 + m = 0.\]
Если \(m = 1\), уравнение принимает вид \(2x + 2 = 0\): оно не квадратное и имеет единственный корень \(x = -1\).
Если \(m \ne 1\), то \(D = 2^2 - 4(1 - m)(1 + m) = 4 - 4(1 - m^2) = 4m^2\). Так как \(\sqrt{4m^2} = 2|m|\), а знак \(\pm\) перед \(2|m|\) даёт те же два числа, что и перед \(2m\), то \[x = \frac{-2 \pm 2m}{2(1 - m)}; \quad x_1 = \frac{2(m - 1)}{2(1 - m)} = -1, \quad x_2 = \frac{-2(m + 1)}{2(1 - m)} = \frac{m + 1}{m - 1}.\]
При \(m = 0\) оба значения равны \(-1\) — единственный корень \(-1\).
Ответ: 1) \(a - 1{,}5\); \(a + 1{,}5\); 2) корней нет ни при каком \(a\); 3) \(b\); \(2b\) (при \(b = 0\) единственный корень 0); 4) при \(b = 1\) корней нет, при \(b \ne 1\) корни \(\frac{3}{b - 1}\) и \(-\frac{3}{b - 1}\); 5) при \(n = 0\) единственный корень 1, при \(n \ne 0\) корни 1 и \(\frac{1}{n}\); 6) при \(m = 1\) единственный корень \(-1\), при \(m \ne 1\) корни \(-1\) и \(\frac{m + 1}{m - 1}\).
Решить уравнение: 1) \(x^2 - 2ax + a^2 - 2{,}25 = 0\); 2) \(x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0\); 3) \(x^2 - 3bx + 2b^2 = 0\); 4) \((b^2 + 2b)x^2 = 9 - (1 - 4b)x^2\); 5) \(nx^2 - (n + 1)x + 1 = 0\); 6) \(x^2 + 1 = m(x^2 - 1) - 2x\).
1) Для уравнения \(x^2 - 2ax + a^2 - 2{,}25 = 0\) \[D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2{,}25) = 4a^2 - 4a^2 + 9 = 9.\]
Дискриминант положителен при любом \(a\), поэтому уравнение имеет два корня: \[x = \frac{2a \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{2a \pm 3}{2}; \quad x_1 = a - 1{,}5, \quad x_2 = a + 1{,}5.\]
2) Для уравнения \(x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0\) \[D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 1) = 4a^2 - 4a^2 - 4 = -4.\]
Дискриминант отрицателен при любом \(a\), поэтому уравнение не имеет корней ни при каком значении \(a\).
3) Для уравнения \(x^2 - 3bx + 2b^2 = 0\) \[D = (-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2b^2 = 9b^2 - 8b^2 = b^2.\]
Дискриминант неотрицателен при любом \(b\), поэтому корни есть всегда. Так как \(\sqrt{b^2} = |b|\), а знак \(\pm\) перед \(|b|\) даёт те же два числа, что и знак \(\pm\) перед \(b\), получаем \[x = \frac{3b \pm b}{2};\] \[x_1 = \frac{4b}{2} = 2b, \quad x_2 = \frac{2b}{2} = b.\]
При \(b = 0\) оба значения равны нулю, то есть уравнение имеет единственный корень 0.
4) Перенесём слагаемое с \(x^2\) из правой части уравнения \((b^2 + 2b)x^2 = 9 - (1 - 4b)x^2\) в левую, вынесем \(x^2\) за скобки и приведём подобные слагаемые: \[(b^2 + 2b)x^2 + (1 - 4b)x^2 = 9,\] \[(b^2 + 2b + 1 - 4b)x^2 = 9,\] \[(b^2 - 2b + 1)x^2 = 9.\]
По формуле квадрата разности \(b^2 - 2b + 1 = (b - 1)^2\), поэтому уравнение принимает вид \((b - 1)^2x^2 = 9\).
Если \(b = 1\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x^2 = 9\) и корней не имеет.
Если \(b \ne 1\), то \(\left((b - 1)x\right)^2 = 9\), откуда \((b - 1)x = 3\) или \((b - 1)x = -3\). Разделив обе части каждого из этих уравнений на отличное от нуля число \(b - 1\), получаем \[x_1 = \frac{3}{b - 1}, \quad x_2 = -\frac{3}{b - 1}.\]
5) Если \(n = 0\), уравнение \(nx^2 - (n + 1)x + 1 = 0\) принимает вид \(-x + 1 = 0\): оно перестаёт быть квадратным и имеет единственный корень \(x = 1\).
Если \(n \ne 0\), уравнение квадратное: \[D = \left(-(n + 1)\right)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = n^2 + 2n + 1 - 4n = n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2.\]
Дискриминант неотрицателен при любом \(n\). Так как \(\sqrt{(n-1)^2} = |n - 1|\), а знак \(\pm\) перед \(|n - 1|\) даёт те же два числа, что и знак \(\pm\) перед \(n - 1\), получаем \[x = \frac{(n + 1) \pm (n - 1)}{2n};\] \[x_1 = \frac{2n}{2n} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n}.\]
При \(n = 1\) оба значения равны 1, то есть уравнение имеет единственный корень 1.
6) Раскроем скобки в уравнении \(x^2 + 1 = m(x^2 - 1) - 2x\) и перенесём все члены в левую часть: \[x^2 + 1 = mx^2 - m - 2x,\] \[(1 - m)x^2 + 2x + 1 + m = 0.\]
Если \(m = 1\), уравнение принимает вид \(2x + 2 = 0\): оно перестаёт быть квадратным и имеет единственный корень \(x = -1\).
Если \(m \ne 1\), уравнение квадратное: \[D = 2^2 - 4(1 - m)(1 + m) = 4 - 4(1 - m^2) = 4m^2.\]
Так как \(\sqrt{4m^2} = 2|m|\), а знак \(\pm\) перед \(2|m|\) даёт те же два числа, что и знак \(\pm\) перед \(2m\), получаем \[x = \frac{-2 \pm 2m}{2(1 - m)};\] \[x_1 = \frac{-2 + 2m}{2(1 - m)} = \frac{2(m - 1)}{2(1 - m)} = -1,\] \[x_2 = \frac{-2 - 2m}{2(1 - m)} = \frac{-2(m + 1)}{2(1 - m)} = \frac{m + 1}{m - 1}.\]
При \(m = 0\) оба значения равны \(-1\), то есть уравнение имеет единственный корень \(-1\).
Ответ: 1) \(a - 1{,}5\); \(a + 1{,}5\); 2) корней нет ни при каком \(a\); 3) \(b\); \(2b\) (при \(b = 0\) единственный корень 0); 4) при \(b = 1\) корней нет, при \(b \ne 1\) корни \(\frac{3}{b - 1}\) и \(-\frac{3}{b - 1}\); 5) при \(n = 0\) единственный корень 1, при \(n \ne 0\) корни 1 и \(\frac{1}{n}\); 6) при \(m = 1\) единственный корень \(-1\), при \(m \ne 1\) корни \(-1\) и \(\frac{m + 1}{m - 1}\).
