Страница 76 номер 3.3.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что уравнение: 1) \(x^2 + mx - 3 = 0\); 2) \(ax^2 + 3bx - a = 0\), где \(a \ne 0\), имеет два различных корня.
Два различных корня есть тогда, когда дискриминант положителен.
1) Первый коэффициент равен 1 — уравнение квадратное при любом \(m\): \[D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = m^2 + 12.\]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(m^2 \geqslant 0\) и \(D \geqslant 12\), то есть \(D > 0\) при любом \(m\). Значит, уравнение имеет два различных корня.
2) Первый коэффициент \(a\) по условию отличен от нуля — уравнение квадратное: \[D = (3b)^2 - 4 \cdot a \cdot (-a) = 9b^2 + 4a^2.\]
Так как \(a \ne 0\), то \(4a^2 > 0\), а \(9b^2 \geqslant 0\); сумма положительного и неотрицательного чисел положительна, поэтому \(D > 0\) при любом \(b\). Значит, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: дискриминант первого уравнения \(D = m^2 + 12\) положителен при любом \(m\), дискриминант второго \(D = 9b^2 + 4a^2\) положителен при \(a \ne 0\) и любом \(b\), поэтому каждое из уравнений имеет два различных корня.
Доказать, что уравнение: 1) \(x^2 + mx - 3 = 0\); 2) \(ax^2 + 3bx - a = 0\), где \(a \ne 0\), имеет два различных корня.
Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда, когда его дискриминант положителен. Значит, в каждом случае достаточно вычислить дискриминант и показать, что он больше нуля при любых допустимых значениях букв.
1) У уравнения \(x^2 + mx - 3 = 0\) первый коэффициент равен 1, поэтому оно квадратное при любом \(m\): \[D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = m^2 + 12.\]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(m^2 \geqslant 0\) и \(D \geqslant 12\), то есть \(D > 0\) при любом \(m\). Значит, уравнение имеет два различных корня.
2) У уравнения \(ax^2 + 3bx - a = 0\) первый коэффициент \(a\) по условию отличен от нуля, поэтому оно квадратное: \[D = (3b)^2 - 4 \cdot a \cdot (-a) = 9b^2 + 4a^2.\]
Так как \(a \ne 0\), то \(4a^2 > 0\); кроме того, \(9b^2 \geqslant 0\). Сумма положительного и неотрицательного чисел положительна, поэтому \(D > 0\) при любом \(b\). Значит, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: дискриминант первого уравнения \(D = m^2 + 12\) положителен при любом \(m\), дискриминант второго \(D = 9b^2 + 4a^2\) положителен при \(a \ne 0\) и любом \(b\), поэтому каждое из уравнений имеет два различных корня.
