Страница 76 номер 3.3.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что уравнение: 1) \(x^2 - 2ax + a^2 - 3b^2 = 0\); 2) \((1 + a^2)x + 2ax - 3b^2 = 0\) имеет хотя бы один действительный корень.
Хотя бы один корень есть тогда, когда дискриминант неотрицателен.
1) Первый коэффициент равен 1 — уравнение квадратное при любых \(a\) и \(b\): \[D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 12b^2 = 12b^2.\]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(D = 12b^2 \geqslant 0\) при любых \(a\) и \(b\): при \(b \ne 0\) корней два, при \(b = 0\) — один. Значит, уравнение имеет хотя бы один корень.
2) В сборнике в первом слагаемом пропущен показатель степени; доказываем для уравнения \((1 + a^2)x^2 + 2ax - 3b^2 = 0\).
Первый коэффициент \(1 + a^2\) при любом \(a\) не меньше 1, то есть отличен от нуля, — уравнение квадратное при любых \(a\) и \(b\): \[D = (2a)^2 - 4(1 + a^2) \cdot (-3b^2) = 4a^2 + 12b^2(1 + a^2).\]
Здесь \(4a^2 \geqslant 0\), а \(12b^2(1 + a^2) \geqslant 0\) как произведение неотрицательного числа \(12b^2\) и положительного числа \(1 + a^2\), поэтому \(D \geqslant 0\) при любых \(a\) и \(b\). Значит, уравнение имеет хотя бы один корень.
Ответ: дискриминант первого уравнения \(D = 12b^2\), дискриминант второго \(D = 4a^2 + 12b^2(1 + a^2)\); оба неотрицательны при любых \(a\) и \(b\), поэтому каждое из уравнений имеет хотя бы один корень.
Доказать, что уравнение: 1) \(x^2 - 2ax + a^2 - 3b^2 = 0\); 2) \((1 + a^2)x + 2ax - 3b^2 = 0\) имеет хотя бы один действительный корень.
Уравнение имеет хотя бы один корень тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Значит, в каждом случае достаточно вычислить дискриминант и показать, что он не меньше нуля при любых значениях букв.
1) У уравнения \(x^2 - 2ax + a^2 - 3b^2 = 0\) первый коэффициент равен 1, поэтому оно квадратное при любых \(a\) и \(b\): \[D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 12b^2 = 12b^2.\]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(12b^2 \geqslant 0\), то есть \(D \geqslant 0\) при любых \(a\) и \(b\). Значит, уравнение имеет хотя бы один корень: при \(b \ne 0\) — два корня, при \(b = 0\) — один корень.
2) В сборнике в первом слагаемом пропущен показатель степени; доказываем для уравнения \((1 + a^2)x^2 + 2ax - 3b^2 = 0\).
У этого уравнения первый коэффициент \(1 + a^2\) при любом \(a\) не меньше 1, то есть отличен от нуля, поэтому оно квадратное при любых \(a\) и \(b\): \[D = (2a)^2 - 4(1 + a^2) \cdot (-3b^2) = 4a^2 + 12b^2(1 + a^2).\]
Здесь \(4a^2 \geqslant 0\), а произведение \(12b^2(1 + a^2)\) неотрицательно как произведение неотрицательного числа \(12b^2\) и положительного числа \(1 + a^2\). Сумма двух неотрицательных чисел неотрицательна, поэтому \(D \geqslant 0\) при любых \(a\) и \(b\). Значит, уравнение имеет хотя бы один корень.
Ответ: дискриминант первого уравнения \(D = 12b^2\), дискриминант второго \(D = 4a^2 + 12b^2(1 + a^2)\); оба неотрицательны при любых \(a\) и \(b\), поэтому каждое из уравнений имеет хотя бы один корень.
