Страница 76 номер 3.3.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Не вычисляя корней \(x_1\) и \(x_2\) уравнения: 1) \(2x^2 - 7x + 4 = 0\); 2) \(3x^2 + 5x - 6 = 0\), найти \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\); \(x_1^2 + x_2^2\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\); \(x_1^3 + x_2^3\).
Все четыре выражения записываются через сумму и произведение корней: \[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}, \quad x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2,\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}, \quad x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2).\]
1) \(D = 49 - 32 = 17 > 0\) — корней два; по теореме Виета \(x_1 + x_2 = \frac{7}{2} = 3{,}5\), \(x_1x_2 = \frac{4}{2} = 2\).
\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3{,}5}{2} = 1{,}75;\] \[x_1^2 + x_2^2 = 3{,}5^2 - 2 \cdot 2 = 12{,}25 - 4 = 8{,}25;\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{8{,}25}{2} = 4{,}125;\] \[x_1^3 + x_2^3 = 3{,}5^3 - 3 \cdot 2 \cdot 3{,}5 = 42{,}875 - 21 = 21{,}875.\]
2) \(D = 25 + 72 = 97 > 0\) — корней два; по теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\frac{5}{3}\), \(x_1x_2 = \frac{-6}{3} = -2\).
\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{5}{6};\] \[x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 - 2 \cdot (-2) = \frac{25}{9} + 4 = \frac{61}{9} = 6\frac{7}{9};\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{61}{9} : (-2) = -\frac{61}{18} = -3\frac{7}{18};\] \[x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{125}{27} - 10 = -\frac{395}{27} = -14\frac{17}{27}.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 1{,}75\); \(x_1^2 + x_2^2 = 8{,}25\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = 4{,}125\); \(x_1^3 + x_2^3 = 21{,}875\); 2) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{6}\); \(x_1^2 + x_2^2 = 6\frac{7}{9}\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = -3\frac{7}{18}\); \(x_1^3 + x_2^3 = -14\frac{17}{27}\).
Не вычисляя корней \(x_1\) и \(x_2\) уравнения: 1) \(2x^2 - 7x + 4 = 0\); 2) \(3x^2 + 5x - 6 = 0\), найти \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\); \(x_1^2 + x_2^2\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\); \(x_1^3 + x_2^3\).
Все четыре выражения записываются через сумму и произведение корней: \[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}, \quad x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2,\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}, \quad x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2).\]
Первое и третье равенства получаются приведением дробей к общему знаменателю, второе — из формулы квадрата суммы, четвёртое — из формулы куба суммы: \((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3\), а \(3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 = 3x_1x_2(x_1 + x_2)\).
1) У уравнения \(2x^2 - 7x + 4 = 0\) дискриминант \(D = 49 - 32 = 17 > 0\), значит, оно имеет два корня. По теореме Виета \[x_1 + x_2 = \frac{7}{2} = 3{,}5, \quad x_1x_2 = \frac{4}{2} = 2.\]
Отсюда \[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3{,}5}{2} = 1{,}75;\] \[x_1^2 + x_2^2 = 3{,}5^2 - 2 \cdot 2 = 12{,}25 - 4 = 8{,}25;\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{8{,}25}{2} = 4{,}125;\] \[x_1^3 + x_2^3 = 3{,}5^3 - 3 \cdot 2 \cdot 3{,}5 = 42{,}875 - 21 = 21{,}875.\]
2) У уравнения \(3x^2 + 5x - 6 = 0\) дискриминант \(D = 25 + 72 = 97 > 0\), значит, оно имеет два корня. По теореме Виета \[x_1 + x_2 = -\frac{5}{3}, \quad x_1x_2 = \frac{-6}{3} = -2.\]
Отсюда \[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{5}{6};\] \[x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 - 2 \cdot (-2) = \frac{25}{9} + 4 = \frac{61}{9} = 6\frac{7}{9};\] \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{61}{9} : (-2) = -\frac{61}{18} = -3\frac{7}{18};\] \[x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{125}{27} - 10 = -\frac{395}{27} = -14\frac{17}{27}.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 1{,}75\); \(x_1^2 + x_2^2 = 8{,}25\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = 4{,}125\); \(x_1^3 + x_2^3 = 21{,}875\); 2) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{6}\); \(x_1^2 + x_2^2 = 6\frac{7}{9}\); \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = -3\frac{7}{18}\); \(x_1^3 + x_2^3 = -14\frac{17}{27}\).
