Страница 76 номер 3.3.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Корни уравнения \(x^2 - 7x + q = 0\) удовлетворяют условию \(x_2 = -3x_1\). Найти \(x_1\), \(x_2\), \(q\). 2) Корни уравнения \(x^2 + px + 4 = 0\) удовлетворяют условию \(x_2 = 2x_1\). Найти \(x_1\), \(x_2\), \(p\).
1) Уравнение приведённое: по теореме Виета \(x_1 + x_2 = 7\), \(x_1x_2 = q\).
По условию \(x_2 = -3x_1\), поэтому \(x_1 + (-3x_1) = 7\), то есть \(-2x_1 = 7\) и \(x_1 = -3{,}5\); тогда \(x_2 = -3 \cdot (-3{,}5) = 10{,}5\) и \[q = x_1x_2 = -3{,}5 \cdot 10{,}5 = -36{,}75.\]
Проверка: у уравнения \(x^2 - 7x - 36{,}75 = 0\) дискриминант \(D = 49 + 147 = 196\) и корни \(x = \frac{7 \pm 14}{2}\), то есть \(-3{,}5\) и \(10{,}5\); условие \(x_2 = -3x_1\) выполняется.
2) Уравнение приведённое: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1x_2 = 4\).
По условию \(x_2 = 2x_1\), поэтому \(2x_1^2 = 4\), \(x_1^2 = 2\) и \(x_1 = \sqrt{2}\) или \(x_1 = -\sqrt{2}\); каждому из этих значений отвечает свой набор корней и своё значение \(p\).
Если \(x_1 = \sqrt{2}\), то \(x_2 = 2\sqrt{2}\) и \(-p = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\), откуда \(p = -3\sqrt{2}\).
Если \(x_1 = -\sqrt{2}\), то \(x_2 = -2\sqrt{2}\) и \(-p = -3\sqrt{2}\), откуда \(p = 3\sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(x_1 = -3{,}5\), \(x_2 = 10{,}5\), \(q = -36{,}75\); 2) \(x_1 = \sqrt{2}\), \(x_2 = 2\sqrt{2}\), \(p = -3\sqrt{2}\) или \(x_1 = -\sqrt{2}\), \(x_2 = -2\sqrt{2}\), \(p = 3\sqrt{2}\).
1) Корни уравнения \(x^2 - 7x + q = 0\) удовлетворяют условию \(x_2 = -3x_1\). Найти \(x_1\), \(x_2\), \(q\). 2) Корни уравнения \(x^2 + px + 4 = 0\) удовлетворяют условию \(x_2 = 2x_1\). Найти \(x_1\), \(x_2\), \(p\).
1) Уравнение \(x^2 - 7x + q = 0\) приведённое, поэтому по теореме Виета \(x_1 + x_2 = 7\) и \(x_1x_2 = q\).
По условию \(x_2 = -3x_1\), поэтому \(x_1 + (-3x_1) = 7\), то есть \(-2x_1 = 7\) и \(x_1 = -3{,}5\). Тогда \(x_2 = -3 \cdot (-3{,}5) = 10{,}5\), а \[q = x_1x_2 = -3{,}5 \cdot 10{,}5 = -36{,}75.\]
Проверка: у уравнения \(x^2 - 7x - 36{,}75 = 0\) дискриминант \(D = 49 + 147 = 196\) и корни \(x = \frac{7 \pm 14}{2}\), то есть \(-3{,}5\) и \(10{,}5\); условие \(x_2 = -3x_1\) выполняется, так как \(-3 \cdot (-3{,}5) = 10{,}5\).
2) Уравнение \(x^2 + px + 4 = 0\) приведённое, поэтому \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1x_2 = 4\).
По условию \(x_2 = 2x_1\), поэтому \(x_1 \cdot 2x_1 = 4\), то есть \(2x_1^2 = 4\) и \(x_1^2 = 2\). Отсюда \(x_1 = \sqrt{2}\) или \(x_1 = -\sqrt{2}\); каждому из этих значений отвечает свой набор корней и своё значение \(p\).
Если \(x_1 = \sqrt{2}\), то \(x_2 = 2\sqrt{2}\) и \(-p = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\), откуда \(p = -3\sqrt{2}\).
Если \(x_1 = -\sqrt{2}\), то \(x_2 = -2\sqrt{2}\) и \(-p = -\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -3\sqrt{2}\), откуда \(p = 3\sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(x_1 = -3{,}5\), \(x_2 = 10{,}5\), \(q = -36{,}75\); 2) \(x_1 = \sqrt{2}\), \(x_2 = 2\sqrt{2}\), \(p = -3\sqrt{2}\) или \(x_1 = -\sqrt{2}\), \(x_2 = -2\sqrt{2}\), \(p = 3\sqrt{2}\).
