Страница 76 номер 3.3.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1) Обозначим \(x^2 - 3 = y\). Уравнение примет вид \[3y^2 + 2y - 5 = 0.\]

\[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64, \quad D > 0;\] \[y = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-2 \pm 8}{6};\] \[y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}.\]

Значит, \(x^2 - 3 = 1\) или \(x^2 - 3 = -\frac{5}{3}\).

Из первого уравнения \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).

Из второго \(x^2 = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}\), откуда \(x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

2) Обозначим \(x^2 - 2x = y\). Уравнение примет вид \[y^2 - 2y - 3 = 0.\]

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad D > 0;\] \[y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}; \quad y_1 = 3, \quad y_2 = -1.\]

Значит, \(x^2 - 2x = 3\) или \(x^2 - 2x = -1\).

Первое равносильно уравнению \(x^2 - 2x - 3 = 0\), у которого \(D = 4 + 12 = 16\) и \(x = \frac{2 \pm 4}{2}\), то есть \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).

Второе равносильно уравнению \(x^2 - 2x + 1 = 0\), то есть \((x - 1)^2 = 0\), откуда \(x = 1\).

3) Обозначим \(x^4 - 5x^2 + 2 = y\). Уравнение примет вид \[4y^2 + 9y - 34 = 0.\]

\[D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-34) = 81 + 544 = 625, \quad D > 0;\] \[y = \frac{-9 \pm \sqrt{625}}{8} = \frac{-9 \pm 25}{8};\] \[y_1 = 2, \quad y_2 = -\frac{34}{8} = -4{,}25.\]

Значит, \(x^4 - 5x^2 + 2 = 2\) или \(x^4 - 5x^2 + 2 = -4{,}25\).

Первое равносильно уравнению \(x^4 - 5x^2 = 0\), то есть \(x^2(x^2 - 5) = 0\). Произведение равно нулю, когда \(x^2 = 0\) или \(x^2 - 5 = 0\), поэтому \(x = 0\), \(x = -\sqrt{5}\) или \(x = \sqrt{5}\).

Второе равносильно уравнению \(x^4 - 5x^2 + 6{,}25 = 0\), левая часть которого есть квадрат двучлена: \((x^2 - 2{,}5)^2 = 0\). Отсюда \(x^2 = 2{,}5\) и \[x = \pm\sqrt{2{,}5} = \pm\sqrt{\frac{10}{4}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}.\]

4) Заметим, что \(4x^4 - 20x^2 + 16 = 4(x^4 - 5x^2 + 4)\). Обозначим \(x^4 - 5x^2 + 4 = y\); уравнение примет вид \[y^2 + 4y = 0, \quad y(y + 4) = 0,\] откуда \(y_1 = 0\), \(y_2 = -4\).

Значит, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) или \(x^4 - 5x^2 + 4 = -4\).

В первом уравнении обозначим \(x^2 = t\): \(t^2 - 5t + 4 = 0\), где \(D = 25 - 16 = 9\) и \(t = \frac{5 \pm 3}{2}\), то есть \(t_1 = 4\), \(t_2 = 1\). Из \(x^2 = 4\) находим \(x = \pm 2\), из \(x^2 = 1\) находим \(x = \pm 1\).

Второе равносильно уравнению \(x^4 - 5x^2 + 8 = 0\). При \(x^2 = t\) получаем \(t^2 - 5t + 8 = 0\), где \(D = 25 - 32 = -7\). Так как \(D < 0\), корней нет.

5) Обозначим \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = y\). Уравнение примет вид \[y^2 + 3y + 2 = 0.\]

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1, \quad D > 0;\] \[y = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}; \quad y_1 = -1, \quad y_2 = -2.\]

Значит, \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = -1\) или \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = -2\).

Первое равносильно уравнению \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\), левая часть которого есть куб двучлена: \((x - 1)^3 = 0\), откуда \(x = 1\).

Второе равносильно уравнению \(x^3 - 3x^2 + 3x = 0\), то есть \(x(x^2 - 3x + 3) = 0\). У трёхчлена \(x^2 - 3x + 3\) дискриминант \(D = 9 - 12 = -3\) отрицателен, корней он не имеет, поэтому \(x = 0\).

6) Обозначим \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = y\). Уравнение примет вид \[y^2 - 5y - 14 = 0.\]

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \quad D > 0;\] \[y = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}; \quad y_1 = 7, \quad y_2 = -2.\]

Значит, \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 7\) или \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = -2\).

Первое равносильно уравнению \(x^3 - 3x^2 + 3x - 9 = 0\); сгруппируем его члены: \[x^2(x - 3) + 3(x - 3) = 0, \quad (x - 3)(x^2 + 3) = 0.\]

Выражение \(x^2 + 3\) положительно при любом \(x\), поэтому \(x - 3 = 0\) и \(x = 3\).

Второе равносильно уравнению \(x^3 - 3x^2 + 3x = 0\), то есть \(x(x^2 - 3x + 3) = 0\); у трёхчлена \(x^2 - 3x + 3\) дискриминант \(D = 9 - 12 = -3\) отрицателен, поэтому \(x = 0\).

Ответ: 1) \(\pm 2\); \(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\); 2) \(-1\); 1; 3; 3) 0; \(\pm\sqrt{5}\); \(\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\); 4) \(\pm 1\); \(\pm 2\); 5) 0; 1; 6) 0; 3.