Страница 76 номер 3.3.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти значения \(x\), при которых верно равенство: 1) \((3x^2 + 11x - 20)^2 + (2x^2 + 2x - 15)^2 = 0\); 2) \((6x^2 + 19x - 7)^2 + (12x^2 + 5x - 3)^2 = 0\).
Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: искомое \(x\) должно обращать в нуль оба выражения сразу.
1) \[\begin{cases} 3x^2 + 11x - 20 = 0, \\ 2x^2 + 2x - 15 = 0 \end{cases}\]
Первое уравнение: \(D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 > 0\), \(x = \frac{-11 \pm 19}{6}\), откуда \(x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\), \(x_2 = -5\).
При \(x = \frac{4}{3}\) второе выражение равно \(2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} - 15 = \frac{32}{9} + \frac{24}{9} - \frac{135}{9} = -\frac{79}{9} \ne 0\), а при \(x = -5\) — \(2 \cdot 25 + 2 \cdot (-5) - 15 = 25 \ne 0\).
Ни один корень первого уравнения не обращает в нуль второе выражение, значит, равенство неверно ни при каком \(x\).
2) \[\begin{cases} 6x^2 + 19x - 7 = 0, \\ 12x^2 + 5x - 3 = 0 \end{cases}\]
Первое уравнение: \(D = 19^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 361 + 168 = 529 > 0\), \(x = \frac{-19 \pm 23}{12}\), откуда \(x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{-42}{12} = -3{,}5\).
При \(x = \frac{1}{3}\) второе выражение равно \(12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} - 3 = 0\), а при \(x = -3{,}5\) — \(12 \cdot 12{,}25 + 5 \cdot (-3{,}5) - 3 = 126{,}5 \ne 0\).
Значит, оба выражения обращаются в нуль одновременно только при \(x = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) таких значений \(x\) нет; 2) \(x = \frac{1}{3}\).
Найти значения \(x\), при которых верно равенство: 1) \((3x^2 + 11x - 20)^2 + (2x^2 + 2x - 15)^2 = 0\); 2) \((6x^2 + 19x - 7)^2 + (12x^2 + 5x - 3)^2 = 0\).
Сумма двух квадратов равна нулю в том и только в том случае, когда каждое из слагаемых обращается в нуль. Значит, искомое значение \(x\) должно обращать в нуль оба выражения сразу.
1) Равенство верно только при тех \(x\), при которых \[\begin{cases} 3x^2 + 11x - 20 = 0, \\ 2x^2 + 2x - 15 = 0 \end{cases}\]
Решим первое уравнение: \[D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361, \quad D > 0;\] \[x = \frac{-11 \pm \sqrt{361}}{6} = \frac{-11 \pm 19}{6};\] \[x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = -5.\]
Подставим каждое из этих чисел во второе выражение. При \(x = \frac{4}{3}\) получаем \[2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} - 15 = \frac{32}{9} + \frac{24}{9} - \frac{135}{9} = -\frac{79}{9} \ne 0,\] при \(x = -5\) получаем \(2 \cdot 25 + 2 \cdot (-5) - 15 = 50 - 10 - 15 = 25 \ne 0\).
Обратить в нуль оба выражения сразу могли бы только корни первого уравнения, но ни один из них не обращает в нуль второе выражение. Значит, данное равенство неверно ни при каком значении \(x\).
2) Равенство верно только при тех \(x\), при которых \[\begin{cases} 6x^2 + 19x - 7 = 0, \\ 12x^2 + 5x - 3 = 0 \end{cases}\]
Решим первое уравнение: \[D = 19^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 361 + 168 = 529, \quad D > 0;\] \[x = \frac{-19 \pm \sqrt{529}}{12} = \frac{-19 \pm 23}{12};\] \[x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-42}{12} = -3{,}5.\]
Подставим каждое из этих чисел во второе выражение. При \(x = \frac{1}{3}\) получаем \[12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} - 3 = 3 - 3 = 0,\] при \(x = -3{,}5\) получаем \(12 \cdot 12{,}25 + 5 \cdot (-3{,}5) - 3 = 147 - 17{,}5 - 3 = 126{,}5 \ne 0\).
Значит, оба выражения обращаются в нуль одновременно только при \(x = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) таких значений \(x\) нет; 2) \(x = \frac{1}{3}\).
