Страница 76 номер 3.3.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(x\) верно равенство: 1) \((x^2 - 3x - 5)^2 = (x^2 + x - 10)^2\); 2) \((x^2 - 5x - 13)^2 = (x^2 - 6x - 8)^2\).
Равенство \(A^2 = B^2\) равносильно равенству \((A - B)(A + B) = 0\), то есть \(A - B = 0\) или \(A + B = 0\).
1) Здесь \(A = x^2 - 3x - 5\), \(B = x^2 + x - 10\): \[A - B = -4x + 5, \quad A + B = 2x^2 - 2x - 15.\]
Значит, \(-4x + 5 = 0\) или \(2x^2 - 2x - 15 = 0\).
Из первого \(4x = 5\), \(x = 1{,}25\).
Для второго \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 4 + 120 = 124 > 0\), и \[x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{2}.\]
2) Здесь \(A = x^2 - 5x - 13\), \(B = x^2 - 6x - 8\): \[A - B = x - 5, \quad A + B = 2x^2 - 11x - 21.\]
Значит, \(x - 5 = 0\) или \(2x^2 - 11x - 21 = 0\).
Из первого \(x = 5\).
Для второго \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 121 + 168 = 289 > 0\); \(x = \frac{11 \pm 17}{4}\), откуда \(x_1 = 7\), \(x_2 = -1{,}5\).
Ответ: 1) \(1{,}25\); \(\frac{1 - \sqrt{31}}{2}\); \(\frac{1 + \sqrt{31}}{2}\); 2) \(-1{,}5\); 5; 7.
Установить, при каких значениях \(x\) верно равенство: 1) \((x^2 - 3x - 5)^2 = (x^2 + x - 10)^2\); 2) \((x^2 - 5x - 13)^2 = (x^2 - 6x - 8)^2\).
Равенство \(A^2 = B^2\) равносильно равенству \(A^2 - B^2 = 0\). Разность квадратов раскладывается на множители: \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\), а произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) Здесь \(A = x^2 - 3x - 5\), \(B = x^2 + x - 10\), поэтому \[A - B = (x^2 - 3x - 5) - (x^2 + x - 10) = -4x + 5,\] \[A + B = (x^2 - 3x - 5) + (x^2 + x - 10) = 2x^2 - 2x - 15.\]
Значит, \((-4x + 5)(2x^2 - 2x - 15) = 0\), то есть \(-4x + 5 = 0\) или \(2x^2 - 2x - 15 = 0\).
Из первого уравнения \(4x = 5\), \(x = 1{,}25\).
Для второго \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 4 + 120 = 124, \quad D > 0;\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{2}.\]
2) Здесь \(A = x^2 - 5x - 13\), \(B = x^2 - 6x - 8\), поэтому \[A - B = (x^2 - 5x - 13) - (x^2 - 6x - 8) = x - 5,\] \[A + B = (x^2 - 5x - 13) + (x^2 - 6x - 8) = 2x^2 - 11x - 21.\]
Значит, \((x - 5)(2x^2 - 11x - 21) = 0\), то есть \(x - 5 = 0\) или \(2x^2 - 11x - 21 = 0\).
Из первого уравнения \(x = 5\).
Для второго \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 121 + 168 = 289, \quad D > 0;\] \[x = \frac{11 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{11 \pm 17}{4};\] \[x_1 = 7, \quad x_2 = -\frac{6}{4} = -1{,}5.\]
Ответ: 1) \(1{,}25\); \(\frac{1 - \sqrt{31}}{2}\); \(\frac{1 + \sqrt{31}}{2}\); 2) \(-1{,}5\); 5; 7.
