Страница 75 номер 3.3.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

По определению модуля равенство \(|A| = k\) при \(k > 0\) означает, что \(A = k\) или \(A = -k\).

1) Уравнение \(|x^2 - 5| = 4\) распадается на два уравнения: \(x^2 - 5 = 4\) или \(x^2 - 5 = -4\).

Из первого \(x^2 = 9\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\). Из второго \(x^2 = 1\), откуда \(x = -1\) или \(x = 1\).

2) Уравнение \(|x^2 - 31| = 5\) распадается на два уравнения: \(x^2 - 31 = 5\) или \(x^2 - 31 = -5\).

Из первого \(x^2 = 36\), откуда \(x = -6\) или \(x = 6\). Из второго \(x^2 = 26\), откуда \(x = -\sqrt{26}\) или \(x = \sqrt{26}\).

3) Уравнение \(|x^2 - 2x| = 3\) распадается на два уравнения: \(x^2 - 2x = 3\) или \(x^2 - 2x = -3\).

Первое из них равносильно уравнению \(x^2 - 2x - 3 = 0\), у которого \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad D > 0;\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}; \quad x_1 = 3, \quad x_2 = -1.\]

Второе равносильно уравнению \(x^2 - 2x + 3 = 0\), у которого \(D = 4 - 12 = -8\). Так как \(D < 0\), это уравнение корней не имеет.

4) Уравнение \(|x^2 - 3x| = 10\) распадается на два уравнения: \(x^2 - 3x = 10\) или \(x^2 - 3x = -10\).

Первое из них равносильно уравнению \(x^2 - 3x - 10 = 0\), у которого \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49, \quad D > 0;\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}; \quad x_1 = 5, \quad x_2 = -2.\]

Второе равносильно уравнению \(x^2 - 3x + 10 = 0\), у которого \(D = 9 - 40 = -31\). Так как \(D < 0\), это уравнение корней не имеет.

Ответ: 1) \(-3\); \(-1\); 1; 3; 2) \(-6\); \(-\sqrt{26}\); \(\sqrt{26}\); 6; 3) \(-1\); 3; 4) \(-2\); 5.