Страница 75 номер 3.3.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) В деревянной пластине квадратной формы просверлили отверстие, диаметр которого на 2 см меньше стороны квадрата пластины. Площадь оставшейся части пластины равна 9 см\(^2\). Найти (с точностью до 0,1 см) сторону пластины. 2) В стальной пластине, имеющей круглую форму, выпилили отверстие, имеющее форму квадрата, сторона которого на 4 см меньше диаметра круга пластины. Найти (с точностью до 0,1 см) сторону отверстия, если площадь оставшейся части пластины равна 10 см\(^2\).
1)
Дано:
пластина — квадрат со стороной \(a\) см
отверстие — круг диаметром \((a - 2)\) см
\(S = 9\) см\(^2\) — площадь оставшейся части пластины
Найти: \(a\) — сторону пластины с точностью до \(0{,}1\) см.
Решение:
Площадь пластины \(a^2\) см\(^2\), радиус отверстия \(\frac{a-2}{2}\) см, площадь отверстия \(\frac{\pi(a-2)^2}{4}\) (см\(^2\)); оставшаяся часть — их разность: \[a^2 - \frac{\pi(a-2)^2}{4} = 9.\]
Умножим на 4: \[4a^2 - \pi(a^2 - 4a + 4) = 36, \quad (4 - \pi)a^2 + 4\pi a - 4\pi - 36 = 0.\]
При \(\pi \approx 3{,}1416\): \(4 - \pi \approx 0{,}8584\), \(4\pi \approx 12{,}5664\), \(4\pi + 36 \approx 48{,}5664\), то есть \[0{,}8584a^2 + 12{,}5664a - 48{,}5664 = 0.\]
\[D \approx 12{,}5664^2 - 4 \cdot 0{,}8584 \cdot (-48{,}5664) \approx 157{,}9144 + 166{,}7576 = 324{,}672; \quad \sqrt{D} \approx 18{,}0187; \quad a \approx \frac{-12{,}5664 \pm 18{,}0187}{2 \cdot 0{,}8584}.\]
Значение \(a \approx \frac{-30{,}5851}{1{,}7168} \approx -17{,}8\) не подходит: сторона пластины положительна. Остаётся \(a \approx \frac{5{,}4523}{1{,}7168} \approx 3{,}176\), то есть \(3{,}2\) см с точностью до \(0{,}1\) см.
2)
Дано:
пластина — круг диаметром \((s + 4)\) см
отверстие — квадрат со стороной \(s\) см
\(S = 10\) см\(^2\) — площадь оставшейся части пластины
Найти: \(s\) — сторону отверстия с точностью до \(0{,}1\) см.
Решение:
Радиус пластины \(\frac{s+4}{2}\) см, площадь пластины \(\frac{\pi(s+4)^2}{4}\) (см\(^2\)), площадь отверстия \(s^2\) см\(^2\); оставшаяся часть — их разность: \[\frac{\pi(s+4)^2}{4} - s^2 = 10.\]
Умножим на 4: \[\pi(s^2 + 8s + 16) - 4s^2 = 40, \quad (4 - \pi)s^2 - 8\pi s - 16\pi + 40 = 0.\]
Берём \(\pi \approx 3{,}1416\): при более грубом \(\pi \approx 3{,}14\) результат изменился бы в разряде десятых. Тогда \(4 - \pi \approx 0{,}8584\), \(8\pi \approx 25{,}1328\), \(16\pi - 40 \approx 10{,}2656\), то есть \[0{,}8584s^2 - 25{,}1328s - 10{,}2656 = 0.\]
\[D \approx (-25{,}1328)^2 - 4 \cdot 0{,}8584 \cdot (-10{,}2656) \approx 631{,}6576 + 35{,}2480 = 666{,}9056; \quad \sqrt{D} \approx 25{,}8245; \quad s \approx \frac{25{,}1328 \pm 25{,}8245}{2 \cdot 0{,}8584}.\]
Значение \(s \approx \frac{-0{,}6917}{1{,}7168} \approx -0{,}4\) не подходит: сторона отверстия положительна. Остаётся \(s \approx \frac{50{,}9573}{1{,}7168} \approx 29{,}68\), то есть \(29{,}7\) см с точностью до \(0{,}1\) см.
Ответ: 1) \(3{,}2\) см; 2) \(29{,}7\) см.
1) В деревянной пластине квадратной формы просверлили отверстие, диаметр которого на 2 см меньше стороны квадрата пластины. Площадь оставшейся части пластины равна 9 см\(^2\). Найти (с точностью до 0,1 см) сторону пластины. 2) В стальной пластине, имеющей круглую форму, выпилили отверстие, имеющее форму квадрата, сторона которого на 4 см меньше диаметра круга пластины. Найти (с точностью до 0,1 см) сторону отверстия, если площадь оставшейся части пластины равна 10 см\(^2\).
1)
Дано:
пластина — квадрат со стороной \(a\) см
отверстие — круг диаметром \((a - 2)\) см
\(S = 9\) см\(^2\) — площадь оставшейся части пластины
Найти: \(a\) — сторону пластины с точностью до \(0{,}1\) см.
Решение:
Площадь квадратной пластины равна \(a^2\) см\(^2\). Радиус отверстия равен \(\frac{a-2}{2}\) см, поэтому площадь отверстия равна \(\pi\left(\frac{a-2}{2}\right)^2 = \frac{\pi(a-2)^2}{4}\) (см\(^2\)). Площадь оставшейся части пластины — разность этих площадей: \[a^2 - \frac{\pi(a-2)^2}{4} = 9.\]
Умножим обе части на 4 и раскроем скобки: \[4a^2 - \pi(a^2 - 4a + 4) = 36,\] \[(4 - \pi)a^2 + 4\pi a - 4\pi - 36 = 0.\]
Возьмём \(\pi \approx 3{,}1416\). Тогда \(4 - \pi \approx 0{,}8584\), \(4\pi \approx 12{,}5664\), \(4\pi + 36 \approx 48{,}5664\), и уравнение принимает вид \[0{,}8584a^2 + 12{,}5664a - 48{,}5664 = 0.\]
\[D \approx 12{,}5664^2 - 4 \cdot 0{,}8584 \cdot (-48{,}5664) \approx 157{,}9144 + 166{,}7576 = 324{,}672;\] \[\sqrt{D} \approx 18{,}0187; \quad a \approx \frac{-12{,}5664 \pm 18{,}0187}{2 \cdot 0{,}8584}.\]
Значение \(a \approx \frac{-30{,}5851}{1{,}7168} \approx -17{,}8\) не подходит: сторона пластины — положительное число. Остаётся \[a \approx \frac{5{,}4523}{1{,}7168} \approx 3{,}176.\]
С точностью до \(0{,}1\) см сторона пластины равна \(3{,}2\) см.
2)
Дано:
пластина — круг диаметром \((s + 4)\) см
отверстие — квадрат со стороной \(s\) см
\(S = 10\) см\(^2\) — площадь оставшейся части пластины
Найти: \(s\) — сторону отверстия с точностью до \(0{,}1\) см.
Решение:
Радиус пластины равен \(\frac{s+4}{2}\) см, поэтому площадь пластины равна \(\pi\left(\frac{s+4}{2}\right)^2 = \frac{\pi(s+4)^2}{4}\) (см\(^2\)), а площадь квадратного отверстия равна \(s^2\) см\(^2\). Площадь оставшейся части пластины — разность этих площадей: \[\frac{\pi(s+4)^2}{4} - s^2 = 10.\]
Умножим обе части на 4 и раскроем скобки: \[\pi(s^2 + 8s + 16) - 4s^2 = 40,\] \[(4 - \pi)s^2 - 8\pi s - 16\pi + 40 = 0.\]
Возьмём \(\pi \approx 3{,}1416\): сторону нужно найти с точностью до \(0{,}1\) см, а при более грубом значении \(\pi \approx 3{,}14\) результат изменился бы в разряде десятых. Тогда \(4 - \pi \approx 0{,}8584\), \(8\pi \approx 25{,}1328\), \(16\pi - 40 \approx 10{,}2656\), и уравнение принимает вид \[0{,}8584s^2 - 25{,}1328s - 10{,}2656 = 0.\]
\[D \approx (-25{,}1328)^2 - 4 \cdot 0{,}8584 \cdot (-10{,}2656) \approx 631{,}6576 + 35{,}2480 = 666{,}9056;\] \[\sqrt{D} \approx 25{,}8245; \quad s \approx \frac{25{,}1328 \pm 25{,}8245}{2 \cdot 0{,}8584}.\]
Значение \(s \approx \frac{-0{,}6917}{1{,}7168} \approx -0{,}4\) не подходит: сторона отверстия — положительное число. Остаётся \[s \approx \frac{50{,}9573}{1{,}7168} \approx 29{,}68.\]
С точностью до \(0{,}1\) см сторона отверстия равна \(29{,}7\) см.
Ответ: 1) \(3{,}2\) см; 2) \(29{,}7\) см.
