Страница 75 номер 3.3.44, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Разность корней уравнения \(2x^2 + 13x + c = 0\) равна 7,5. Найти \(c\). 2) Разность корней уравнения \(4x^2 - 25x + c = 0\) равна 5,75. Найти \(c\).
Разность корней выражается через их сумму и произведение: \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\), а сумму и произведение корней даёт теорема Виета.
1) \(x_1 + x_2 = -\frac{13}{2} = -6{,}5\), \(x_1x_2 = \frac{c}{2}\), \((x_1 - x_2)^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\), поэтому \[(-6{,}5)^2 - 4 \cdot \frac{c}{2} = 56{,}25, \quad 42{,}25 - 2c = 56{,}25, \quad -2c = 14, \quad c = -7.\]
При \(c = -7\) дискриминант \(D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 > 0\) — два корня действительно есть.
2) \(x_1 + x_2 = \frac{25}{4} = 6{,}25\), \(x_1x_2 = \frac{c}{4}\), \((x_1 - x_2)^2 = 5{,}75^2 = 33{,}0625\), поэтому \[6{,}25^2 - 4 \cdot \frac{c}{4} = 33{,}0625, \quad 39{,}0625 - c = 33{,}0625, \quad c = 6.\]
При \(c = 6\) дискриминант \(D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 625 - 96 = 529 > 0\) — два корня действительно есть.
Ответ: 1) \(c = -7\); 2) \(c = 6\).
1) Разность корней уравнения \(2x^2 + 13x + c = 0\) равна 7,5. Найти \(c\). 2) Разность корней уравнения \(4x^2 - 25x + c = 0\) равна 5,75. Найти \(c\).
Разность корней выражается через их сумму и произведение. Из формул квадрата суммы и квадрата разности \[(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2, \quad (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2,\] следует, что \[(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2.\]
Сумму и произведение корней даёт теорема Виета.
1) Для уравнения \(2x^2 + 13x + c = 0\) имеем \(x_1 + x_2 = -\frac{13}{2} = -6{,}5\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{2}\). По условию разность корней равна \(7{,}5\), поэтому \((x_1 - x_2)^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\) и \[(-6{,}5)^2 - 4 \cdot \frac{c}{2} = 56{,}25,\] \[42{,}25 - 2c = 56{,}25,\] \[-2c = 14, \quad c = -7.\]
При \(c = -7\) дискриминант \(D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 > 0\), значит, уравнение действительно имеет два корня.
2) Для уравнения \(4x^2 - 25x + c = 0\) имеем \(x_1 + x_2 = \frac{25}{4} = 6{,}25\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{4}\). По условию разность корней равна \(5{,}75\), поэтому \((x_1 - x_2)^2 = 5{,}75^2 = 33{,}0625\) и \[6{,}25^2 - 4 \cdot \frac{c}{4} = 33{,}0625,\] \[39{,}0625 - c = 33{,}0625,\] \[c = 6.\]
При \(c = 6\) дискриминант \(D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 625 - 96 = 529 > 0\), значит, уравнение действительно имеет два корня.
Ответ: 1) \(c = -7\); 2) \(c = 6\).
