Страница 75 номер 3.3.43, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Один из корней уравнения \(x^2 - 4x + q = 0\) равен \(-5\). Найти другой корень и коэффициент \(q\). 2) Один из корней уравнения \(3x^2 - 2x + c = 0\) равен \(-1\). Найти другой корень и свободный член \(c\). 3) Один из корней уравнения \(2x^2 + \sqrt{5}x + c = 0\) равен \(-\frac{3\sqrt{5}}{2}\). Найти другой корень и свободный член \(c\). 4) Один из корней уравнения \(-5x^2 + 2\sqrt{7} + c = 0\) равен \(\sqrt{7}\). Найти другой корень и свободный член \(c\).
1) Уравнение приведённое, поэтому по теореме Виета \(x_1 + x_2 = 4\) и \(x_1x_2 = q\). При \(x_1 = -5\): \(x_2 = 4 - (-5) = 9\), а \(q = -5 \cdot 9 = -45\).
2) По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \frac{2}{3}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{3}\). При \(x_1 = -1\): \(x_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}\), \(\frac{c}{3} = -1 \cdot \frac{5}{3} = -\frac{5}{3}\), откуда \(c = -5\).
3) По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{2}\). При \(x_1 = -\frac{3\sqrt{5}}{2}\) \[x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.\]
Тогда \(\frac{c}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{5} = -\frac{15}{2}\), откуда \(c = -15\).
4) В сборнике при \(2\sqrt{7}\) пропущен множитель \(x\); решаем уравнение \(-5x^2 + 2\sqrt{7}x + c = 0\).
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\frac{2\sqrt{7}}{-5} = \frac{2\sqrt{7}}{5}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{-5}\). При \(x_1 = \sqrt{7}\) \[x_2 = \frac{2\sqrt{7}}{5} - \sqrt{7} = \frac{2\sqrt{7} - 5\sqrt{7}}{5} = -\frac{3\sqrt{7}}{5}.\]
Тогда \(-\frac{c}{5} = \sqrt{7} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{7}}{5}\right) = -\frac{21}{5}\), откуда \(c = 21\).
Ответ: 1) второй корень 9, \(q = -45\); 2) второй корень \(1\frac{2}{3}\), \(c = -5\); 3) второй корень \(\sqrt{5}\), \(c = -15\); 4) второй корень \(-\frac{3\sqrt{7}}{5}\), \(c = 21\).
1) Один из корней уравнения \(x^2 - 4x + q = 0\) равен \(-5\). Найти другой корень и коэффициент \(q\). 2) Один из корней уравнения \(3x^2 - 2x + c = 0\) равен \(-1\). Найти другой корень и свободный член \(c\). 3) Один из корней уравнения \(2x^2 + \sqrt{5}x + c = 0\) равен \(-\frac{3\sqrt{5}}{2}\). Найти другой корень и свободный член \(c\). 4) Один из корней уравнения \(-5x^2 + 2\sqrt{7} + c = 0\) равен \(\sqrt{7}\). Найти другой корень и свободный член \(c\).
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то по теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\). Зная один корень, второй находим из суммы корней, а затем из их произведения находим свободный член.
1) Уравнение \(x^2 - 4x + q = 0\) приведённое, поэтому \(x_1 + x_2 = 4\) и \(x_1x_2 = q\). По условию \(x_1 = -5\), значит, \(x_2 = 4 - (-5) = 9\), а \(q = -5 \cdot 9 = -45\).
2) Для уравнения \(3x^2 - 2x + c = 0\) имеем \(x_1 + x_2 = \frac{2}{3}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{3}\). По условию \(x_1 = -1\), значит, \(x_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}\). Тогда \(\frac{c}{3} = -1 \cdot \frac{5}{3} = -\frac{5}{3}\), откуда \(c = -5\).
3) Для уравнения \(2x^2 + \sqrt{5}x + c = 0\) имеем \(x_1 + x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{2}\). По условию \(x_1 = -\frac{3\sqrt{5}}{2}\), значит, \[x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.\]
Тогда \(\frac{c}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{5} = -\frac{3 \cdot 5}{2} = -\frac{15}{2}\), откуда \(c = -15\).
4) В сборнике при \(2\sqrt{7}\) пропущен множитель \(x\); решаем уравнение \(-5x^2 + 2\sqrt{7}x + c = 0\).
Для него \(x_1 + x_2 = -\frac{2\sqrt{7}}{-5} = \frac{2\sqrt{7}}{5}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{-5}\). По условию \(x_1 = \sqrt{7}\), значит, \[x_2 = \frac{2\sqrt{7}}{5} - \sqrt{7} = \frac{2\sqrt{7} - 5\sqrt{7}}{5} = -\frac{3\sqrt{7}}{5}.\]
Тогда \(-\frac{c}{5} = \sqrt{7} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{7}}{5}\right) = -\frac{3 \cdot 7}{5} = -\frac{21}{5}\), откуда \(c = 21\).
Ответ: 1) второй корень 9, \(q = -45\); 2) второй корень \(1\frac{2}{3}\), \(c = -5\); 3) второй корень \(\sqrt{5}\), \(c = -15\); 4) второй корень \(-\frac{3\sqrt{7}}{5}\), \(c = 21\).
