Страница 75 номер 3.3.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Один из корней уравнения \(x^2 + px - 12 = 0\) равен \(-4\). Найти другой корень и коэффициент \(p\). 2) Один из корней уравнения \(2x^2 + bx + 2{,}8 = 0\) равен \(-7\). Найти другой корень и коэффициент \(b\). 3) Один из корней уравнения \(3x^2 + bx + 5 = 0\) равен \(\sqrt{5}\). Найти другой корень и коэффициент \(b\). 4) Один из корней уравнения \(4x^2 + bx - 7 = 0\) равен \(\frac{\sqrt{7}}{4}\). Найти другой корень и коэффициент \(b\).
1) Уравнение приведённое, поэтому по теореме Виета \(x_1x_2 = -12\) и \(x_1 + x_2 = -p\). При \(x_1 = -4\): \(-4x_2 = -12\), откуда \(x_2 = 3\); тогда \(-4 + 3 = -p\), то есть \(-p = -1\) и \(p = 1\).
2) По теореме Виета \(x_1x_2 = \frac{2{,}8}{2} = 1{,}4\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}\). При \(x_1 = -7\): \(-7x_2 = 1{,}4\), откуда \(x_2 = -0{,}2\); тогда \(-\frac{b}{2} = -7 + (-0{,}2) = -7{,}2\) и \(b = 14{,}4\).
3) По теореме Виета \(x_1x_2 = \frac{5}{3}\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\). При \(x_1 = \sqrt{5}\): \(\sqrt{5}\,x_2 = \frac{5}{3}\), откуда \[x_2 = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{3}.\]
Тогда \(-\frac{b}{3} = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\) и \(b = -4\sqrt{5}\).
4) По теореме Виета \(x_1x_2 = -\frac{7}{4}\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}\). При \(x_1 = \frac{\sqrt{7}}{4}\): \(\frac{\sqrt{7}}{4}x_2 = -\frac{7}{4}\), откуда \[x_2 = -\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{7}{\sqrt{7}} = -\sqrt{7}.\]
Тогда \(-\frac{b}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} - \sqrt{7} = -\frac{3\sqrt{7}}{4}\) и \(b = 3\sqrt{7}\).
Ответ: 1) второй корень 3, \(p = 1\); 2) второй корень \(-0{,}2\), \(b = 14{,}4\); 3) второй корень \(\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(b = -4\sqrt{5}\); 4) второй корень \(-\sqrt{7}\), \(b = 3\sqrt{7}\).
1) Один из корней уравнения \(x^2 + px - 12 = 0\) равен \(-4\). Найти другой корень и коэффициент \(p\). 2) Один из корней уравнения \(2x^2 + bx + 2{,}8 = 0\) равен \(-7\). Найти другой корень и коэффициент \(b\). 3) Один из корней уравнения \(3x^2 + bx + 5 = 0\) равен \(\sqrt{5}\). Найти другой корень и коэффициент \(b\). 4) Один из корней уравнения \(4x^2 + bx - 7 = 0\) равен \(\frac{\sqrt{7}}{4}\). Найти другой корень и коэффициент \(b\).
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то по теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\). Зная один корень, второй находим из произведения корней, а затем из их суммы находим неизвестный коэффициент.
1) Уравнение \(x^2 + px - 12 = 0\) приведённое, поэтому \(x_1x_2 = -12\) и \(x_1 + x_2 = -p\). По условию \(x_1 = -4\), значит, \(-4x_2 = -12\), откуда \(x_2 = 3\). Тогда \(-4 + 3 = -p\), то есть \(-p = -1\) и \(p = 1\).
2) Для уравнения \(2x^2 + bx + 2{,}8 = 0\) имеем \(x_1x_2 = \frac{2{,}8}{2} = 1{,}4\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}\). По условию \(x_1 = -7\), значит, \(-7x_2 = 1{,}4\), откуда \(x_2 = -0{,}2\). Тогда \(-7 + (-0{,}2) = -\frac{b}{2}\), то есть \(-\frac{b}{2} = -7{,}2\) и \(b = 14{,}4\).
3) Для уравнения \(3x^2 + bx + 5 = 0\) имеем \(x_1x_2 = \frac{5}{3}\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\). По условию \(x_1 = \sqrt{5}\), значит, \(\sqrt{5}\,x_2 = \frac{5}{3}\), откуда \[x_2 = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{3}.\]
Тогда \(\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\), то есть \(-\frac{b}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\) и \(b = -4\sqrt{5}\).
4) Для уравнения \(4x^2 + bx - 7 = 0\) имеем \(x_1x_2 = -\frac{7}{4}\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}\). По условию \(x_1 = \frac{\sqrt{7}}{4}\), значит, \(\frac{\sqrt{7}}{4}x_2 = -\frac{7}{4}\), откуда \[x_2 = -\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{7}{\sqrt{7}} = -\sqrt{7}.\]
Тогда \(\frac{\sqrt{7}}{4} - \sqrt{7} = \frac{\sqrt{7} - 4\sqrt{7}}{4} = -\frac{3\sqrt{7}}{4}\), то есть \(-\frac{b}{4} = -\frac{3\sqrt{7}}{4}\) и \(b = 3\sqrt{7}\).
Ответ: 1) второй корень 3, \(p = 1\); 2) второй корень \(-0{,}2\), \(b = 14{,}4\); 3) второй корень \(\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(b = -4\sqrt{5}\); 4) второй корень \(-\sqrt{7}\), \(b = 3\sqrt{7}\).
