Страница 74 номер 3.3.40, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения \(c\), при которых уравнение: 1) \(3x^2 + 5x + c = 0\); 2) \(2x^2 - 7x - c = 0\) имеет два различных корня; имеет только один корень; не имеет корней.
В обоих уравнениях первый коэффициент отличен от нуля, поэтому они квадратные при любом значении параметра; при \(D > 0\) корней два, при \(D = 0\) корень один, при \(D < 0\) корней нет.
1) \(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot c = 25 - 12c\).
\(25 - 12c > 0\) при \(c < \frac{25}{12}\), то есть при \(c < 2\frac{1}{12}\), — два различных корня.
\(25 - 12c = 0\) при \(c = 2\frac{1}{12}\) — только один корень.
\(25 - 12c < 0\) при \(c > 2\frac{1}{12}\) — корней нет.
2) \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-c) = 49 + 8c\).
\(49 + 8c > 0\) при \(c > -\frac{49}{8}\), то есть при \(c > -6\frac{1}{8}\), — два различных корня.
\(49 + 8c = 0\) при \(c = -6\frac{1}{8}\) — только один корень.
\(49 + 8c < 0\) при \(c < -6\frac{1}{8}\) — корней нет.
Ответ: 1) два различных корня при \(c < 2\frac{1}{12}\), один корень при \(c = 2\frac{1}{12}\), корней нет при \(c > 2\frac{1}{12}\); 2) два различных корня при \(c > -6\frac{1}{8}\), один корень при \(c = -6\frac{1}{8}\), корней нет при \(c < -6\frac{1}{8}\).
Найти все значения \(c\), при которых уравнение: 1) \(3x^2 + 5x + c = 0\); 2) \(2x^2 - 7x - c = 0\) имеет два различных корня; имеет только один корень; не имеет корней.
В обоих уравнениях первый коэффициент — отличное от нуля число, поэтому оба уравнения квадратные при любом значении параметра. Число корней зависит от знака дискриминанта: при \(D > 0\) корней два, при \(D = 0\) корень один, при \(D < 0\) корней нет.
1) Для уравнения \(3x^2 + 5x + c = 0\) \[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot c = 25 - 12c.\]
Неравенство \(25 - 12c > 0\) верно при \(c < \frac{25}{12}\), то есть при \(c < 2\frac{1}{12}\): при таких значениях \(c\) уравнение имеет два различных корня.
Равенство \(25 - 12c = 0\) верно при \(c = 2\frac{1}{12}\): при этом значении уравнение имеет только один корень.
Неравенство \(25 - 12c < 0\) верно при \(c > 2\frac{1}{12}\): при таких значениях \(c\) уравнение не имеет корней.
2) Для уравнения \(2x^2 - 7x - c = 0\) \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-c) = 49 + 8c.\]
Неравенство \(49 + 8c > 0\) верно при \(c > -\frac{49}{8}\), то есть при \(c > -6\frac{1}{8}\): при таких значениях \(c\) уравнение имеет два различных корня.
Равенство \(49 + 8c = 0\) верно при \(c = -6\frac{1}{8}\): при этом значении уравнение имеет только один корень.
Неравенство \(49 + 8c < 0\) верно при \(c < -6\frac{1}{8}\): при таких значениях \(c\) уравнение не имеет корней.
Ответ: 1) два различных корня при \(c < 2\frac{1}{12}\), один корень при \(c = 2\frac{1}{12}\), корней нет при \(c > 2\frac{1}{12}\); 2) два различных корня при \(c > -6\frac{1}{8}\), один корень при \(c = -6\frac{1}{8}\), корней нет при \(c < -6\frac{1}{8}\).
