Страница 74 номер 3.3.39, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения \(a\), при которых уравнение: 1) \(ax^2 + 5x + 3 = 0\); 2) \(ax^2 - 6x - 2 = 0\) имеет два различных корня; имеет только один корень; не имеет корней.
Первый коэффициент квадратного уравнения отличен от нуля, поэтому \(a \ne 0\); при \(D > 0\) корней два, при \(D = 0\) корень один, при \(D < 0\) корней нет.
1) \(D = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 25 - 12a\).
\(25 - 12a > 0\) при \(a < \frac{25}{12}\), то есть при \(a < 2\frac{1}{12}\), — два различных корня (кроме \(a = 0\)).
\(25 - 12a = 0\) при \(a = 2\frac{1}{12}\) — только один корень.
\(25 - 12a < 0\) при \(a > 2\frac{1}{12}\) — корней нет.
2) \(D = (-6)^2 - 4 \cdot a \cdot (-2) = 36 + 8a\).
\(36 + 8a > 0\) при \(a > -4{,}5\) — два различных корня (кроме \(a = 0\)).
\(36 + 8a = 0\) при \(a = -4{,}5\) — только один корень.
\(36 + 8a < 0\) при \(a < -4{,}5\) — корней нет.
Ответ: 1) два различных корня при \(a < 2\frac{1}{12}\) и \(a \ne 0\), один корень при \(a = 2\frac{1}{12}\), корней нет при \(a > 2\frac{1}{12}\); 2) два различных корня при \(a > -4{,}5\) и \(a \ne 0\), один корень при \(a = -4{,}5\), корней нет при \(a < -4{,}5\).
Найти все значения \(a\), при которых уравнение: 1) \(ax^2 + 5x + 3 = 0\); 2) \(ax^2 - 6x - 2 = 0\) имеет два различных корня; имеет только один корень; не имеет корней.
По определению квадратного уравнения его первый коэффициент отличен от нуля, поэтому \(a \ne 0\). Число корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта: при \(D > 0\) корней два, при \(D = 0\) корень один, при \(D < 0\) корней нет.
1) Для уравнения \(ax^2 + 5x + 3 = 0\) \[D = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 25 - 12a.\]
Неравенство \(25 - 12a > 0\) верно при \(a < \frac{25}{12}\), то есть при \(a < 2\frac{1}{12}\): при таких значениях \(a\) (кроме \(a = 0\)) уравнение имеет два различных корня.
Равенство \(25 - 12a = 0\) верно при \(a = 2\frac{1}{12}\): при этом значении уравнение имеет только один корень.
Неравенство \(25 - 12a < 0\) верно при \(a > 2\frac{1}{12}\): при таких значениях \(a\) уравнение не имеет корней.
2) Для уравнения \(ax^2 - 6x - 2 = 0\) \[D = (-6)^2 - 4 \cdot a \cdot (-2) = 36 + 8a.\]
Неравенство \(36 + 8a > 0\) верно при \(a > -4{,}5\): при таких значениях \(a\) (кроме \(a = 0\)) уравнение имеет два различных корня.
Равенство \(36 + 8a = 0\) верно при \(a = -4{,}5\): при этом значении уравнение имеет только один корень.
Неравенство \(36 + 8a < 0\) верно при \(a < -4{,}5\): при таких значениях \(a\) уравнение не имеет корней.
Ответ: 1) два различных корня при \(a < 2\frac{1}{12}\) и \(a \ne 0\), один корень при \(a = 2\frac{1}{12}\), корней нет при \(a > 2\frac{1}{12}\); 2) два различных корня при \(a > -4{,}5\) и \(a \ne 0\), один корень при \(a = -4{,}5\), корней нет при \(a < -4{,}5\).
