Страница 73 номер 3.3.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Методом выделения полного квадрата решить уравнение: 1) \(9x^2 - 6x - 8 = 0\); 2) \(4x^2 + 4x - 15 = 0\); 3) \(25x^2 - 20x + 3 = 0\); 4) \(16x^2 - 24x + 5 = 0\); 5) \(x^2 - 7x + 6 = 0\); 6) \(x^2 - 7x - 8 = 0\); 7) \(x^2 - 5x - 50 = 0\); 8) \(x^2 - 13x + 40 = 0\); 9) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\); 10) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\); 11) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\); 12) \(4x^2 + 7x + 3 = 0\).
1) \(9x^2 - 6x - 8 = 0\). Разделим обе части на 9: \(x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{9} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{8}{9} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9}, \\ \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 = 1.\] Отсюда \(x - \frac{1}{3} = -1\) или \(x - \frac{1}{3} = 1\), то есть \(x = -\frac{2}{3}\) или \(x = 1\frac{1}{3}\);
2) \(4x^2 + 4x - 15 = 0\). Разделим обе части на 4: \(x^2 + x - \frac{15}{4} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{15}{4} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{15}{4}, \\ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 4.\] Отсюда \(x + \frac{1}{2} = -2\) или \(x + \frac{1}{2} = 2\), то есть \(x = -2{,}5\) или \(x = 1{,}5\);
3) \(25x^2 - 20x + 3 = 0\). Разделим обе части на 25: \(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{3}{25} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x + \left(\frac{2}{5}\right)^2 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \frac{3}{25} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} - \frac{3}{25}, \\ \left(x - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}.\] Отсюда \(x - \frac{2}{5} = -\frac{1}{5}\) или \(x - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\), то есть \(x = \frac{1}{5} = 0{,}2\) или \(x = \frac{3}{5} = 0{,}6\);
4) \(16x^2 - 24x + 5 = 0\). Разделим обе части на 16: \(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{16} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{5}{16} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} - \frac{5}{16}, \\ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\) или \(x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\), то есть \(x = \frac{1}{4} = 0{,}25\) или \(x = \frac{5}{4} = 1{,}25\);
5) \(x^2 - 7x + 6 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 + 6 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 6, \\ \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}\) или \(x - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}\), то есть \(x = 1\) или \(x = 6\);
6) \(x^2 - 7x - 8 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 8 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} + 8, \\ \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{2} = -\frac{9}{2}\) или \(x - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}\), то есть \(x = -1\) или \(x = 8\);
7) \(x^2 - 5x - 50 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 50 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + 50, \\ \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{225}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}\) или \(x - \frac{5}{2} = \frac{15}{2}\), то есть \(x = -5\) или \(x = 10\);
8) \(x^2 - 13x + 40 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{13}{2}x + \left(\frac{13}{2}\right)^2 - \left(\frac{13}{2}\right)^2 + 40 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{13}{2}x + \left(\frac{13}{2}\right)^2 = \frac{169}{4} - 40, \\ \left(x - \frac{13}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{13}{2} = -\frac{3}{2}\) или \(x - \frac{13}{2} = \frac{3}{2}\), то есть \(x = 5\) или \(x = 8\);
9) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\). Разделим обе части на 2: \(x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{5}{4}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \frac{3}{2} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{5}{4}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} + \frac{24}{16}, \\ \left(x + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}.\] Отсюда \(x + \frac{5}{4} = -\frac{7}{4}\) или \(x + \frac{5}{4} = \frac{7}{4}\), то есть \(x = -3\) или \(x = \frac{1}{2} = 0{,}5\);
10) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\). Разделим обе части на 3: \(x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \frac{2}{3} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} + \frac{24}{36}, \\ \left(x + \frac{5}{6}\right)^2 = \frac{49}{36}.\] Отсюда \(x + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}\) или \(x + \frac{5}{6} = \frac{7}{6}\), то есть \(x = -2\) или \(x = \frac{1}{3}\);
11) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\). Разделим обе части на 5: \(x^2 - \frac{7}{5}x + \frac{2}{5} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{10}x + \left(\frac{7}{10}\right)^2 - \left(\frac{7}{10}\right)^2 + \frac{2}{5} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{10}x + \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} - \frac{40}{100}, \\ \left(x - \frac{7}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{10} = -\frac{3}{10}\) или \(x - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}\), то есть \(x = \frac{2}{5} = 0{,}4\) или \(x = 1\);
12) \(4x^2 + 7x + 3 = 0\). Разделим обе части на 4: \(x^2 + \frac{7}{4}x + \frac{3}{4} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{7}{8}x + \left(\frac{7}{8}\right)^2 - \left(\frac{7}{8}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{7}{8}x + \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64} - \frac{48}{64}, \\ \left(x + \frac{7}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}.\] Отсюда \(x + \frac{7}{8} = -\frac{1}{8}\) или \(x + \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\), то есть \(x = -1\) или \(x = -\frac{3}{4} = -0{,}75\).
Ответ: 1) \(-\frac{2}{3}\); \(1\frac{1}{3}\); 2) \(-2{,}5\); \(1{,}5\); 3) \(0{,}2\); \(0{,}6\); 4) \(0{,}25\); \(1{,}25\); 5) 1; 6; 6) \(-1\); 8; 7) \(-5\); 10; 8) 5; 8; 9) \(-3\); \(0{,}5\); 10) \(-2\); \(\frac{1}{3}\); 11) \(0{,}4\); 1; 12) \(-1\); \(-0{,}75\).
Методом выделения полного квадрата решить уравнение: 1) \(9x^2 - 6x - 8 = 0\); 2) \(4x^2 + 4x - 15 = 0\); 3) \(25x^2 - 20x + 3 = 0\); 4) \(16x^2 - 24x + 5 = 0\); 5) \(x^2 - 7x + 6 = 0\); 6) \(x^2 - 7x - 8 = 0\); 7) \(x^2 - 5x - 50 = 0\); 8) \(x^2 - 13x + 40 = 0\); 9) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\); 10) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\); 11) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\); 12) \(4x^2 + 7x + 3 = 0\).
Выделим в каждом уравнении квадрат двучлена. Если первый коэффициент отличен от 1, сначала разделим на него обе части уравнения. Затем член с \(x\) представим в виде удвоенного произведения, прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого и свернём квадрат двучлена.
1) \(9x^2 - 6x - 8 = 0\). Разделим обе части на 9: \(x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{9} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{8}{9} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9}, \\ \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 = 1.\] Отсюда \(x - \frac{1}{3} = -1\) или \(x - \frac{1}{3} = 1\), то есть \(x = -\frac{2}{3}\) или \(x = 1\frac{1}{3}\);
2) \(4x^2 + 4x - 15 = 0\). Разделим обе части на 4: \(x^2 + x - \frac{15}{4} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{15}{4} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{15}{4}, \\ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 4.\] Отсюда \(x + \frac{1}{2} = -2\) или \(x + \frac{1}{2} = 2\), то есть \(x = -2{,}5\) или \(x = 1{,}5\);
3) \(25x^2 - 20x + 3 = 0\). Разделим обе части на 25: \(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{3}{25} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x + \left(\frac{2}{5}\right)^2 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \frac{3}{25} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} - \frac{3}{25}, \\ \left(x - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}.\] Отсюда \(x - \frac{2}{5} = -\frac{1}{5}\) или \(x - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\), то есть \(x = \frac{1}{5} = 0{,}2\) или \(x = \frac{3}{5} = 0{,}6\);
4) \(16x^2 - 24x + 5 = 0\). Разделим обе части на 16: \(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{16} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{5}{16} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} - \frac{5}{16}, \\ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\) или \(x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\), то есть \(x = \frac{1}{4} = 0{,}25\) или \(x = \frac{5}{4} = 1{,}25\);
5) \(x^2 - 7x + 6 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 + 6 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 6, \\ \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}\) или \(x - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}\), то есть \(x = 1\) или \(x = 6\);
6) \(x^2 - 7x - 8 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 8 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} + 8, \\ \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{2} = -\frac{9}{2}\) или \(x - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}\), то есть \(x = -1\) или \(x = 8\);
7) \(x^2 - 5x - 50 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 50 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + 50, \\ \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{225}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}\) или \(x - \frac{5}{2} = \frac{15}{2}\), то есть \(x = -5\) или \(x = 10\);
8) \(x^2 - 13x + 40 = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{13}{2}x + \left(\frac{13}{2}\right)^2 - \left(\frac{13}{2}\right)^2 + 40 = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{13}{2}x + \left(\frac{13}{2}\right)^2 = \frac{169}{4} - 40, \\ \left(x - \frac{13}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.\] Отсюда \(x - \frac{13}{2} = -\frac{3}{2}\) или \(x - \frac{13}{2} = \frac{3}{2}\), то есть \(x = 5\) или \(x = 8\);
9) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\). Разделим обе части на 2: \(x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{5}{4}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \frac{3}{2} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{5}{4}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} + \frac{24}{16}, \\ \left(x + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}.\] Отсюда \(x + \frac{5}{4} = -\frac{7}{4}\) или \(x + \frac{5}{4} = \frac{7}{4}\), то есть \(x = -3\) или \(x = \frac{1}{2} = 0{,}5\);
10) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\). Разделим обе части на 3: \(x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \frac{2}{3} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} + \frac{24}{36}, \\ \left(x + \frac{5}{6}\right)^2 = \frac{49}{36}.\] Отсюда \(x + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}\) или \(x + \frac{5}{6} = \frac{7}{6}\), то есть \(x = -2\) или \(x = \frac{1}{3}\);
11) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\). Разделим обе части на 5: \(x^2 - \frac{7}{5}x + \frac{2}{5} = 0\); \[x^2 - 2 \cdot \frac{7}{10}x + \left(\frac{7}{10}\right)^2 - \left(\frac{7}{10}\right)^2 + \frac{2}{5} = 0, \\ x^2 - 2 \cdot \frac{7}{10}x + \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} - \frac{40}{100}, \\ \left(x - \frac{7}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}.\] Отсюда \(x - \frac{7}{10} = -\frac{3}{10}\) или \(x - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}\), то есть \(x = \frac{2}{5} = 0{,}4\) или \(x = 1\);
12) \(4x^2 + 7x + 3 = 0\). Разделим обе части на 4: \(x^2 + \frac{7}{4}x + \frac{3}{4} = 0\); \[x^2 + 2 \cdot \frac{7}{8}x + \left(\frac{7}{8}\right)^2 - \left(\frac{7}{8}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0, \\ x^2 + 2 \cdot \frac{7}{8}x + \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64} - \frac{48}{64}, \\ \left(x + \frac{7}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}.\] Отсюда \(x + \frac{7}{8} = -\frac{1}{8}\) или \(x + \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\), то есть \(x = -1\) или \(x = -\frac{3}{4} = -0{,}75\).
Ответ: 1) \(-\frac{2}{3}\); \(1\frac{1}{3}\); 2) \(-2{,}5\); \(1{,}5\); 3) \(0{,}2\); \(0{,}6\); 4) \(0{,}25\); \(1{,}25\); 5) 1; 6; 6) \(-1\); 8; 7) \(-5\); 10; 8) 5; 8; 9) \(-3\); \(0{,}5\); 10) \(-2\); \(\frac{1}{3}\); 11) \(0{,}4\); 1; 12) \(-1\); \(-0{,}75\).
