Страница 73 номер 3.3.27, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1)

Дано:
прямоугольный треугольник
один катет на 3 см длиннее другого
\(S = 54\) см\(^2\)

Найти: стороны треугольника.

Решение:

Пусть меньший катет равен \(x\) см, тогда больший равен \((x + 3)\) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[\frac{1}{2}x(x + 3) = 54, \\ x(x + 3) = 108, \\ x^2 + 3x - 108 = 0.\] \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441\), \(x = \frac{-3 \pm 21}{2}\), \(x_1 = -12\), \(x_2 = 9\).

Длина катета выражается положительным числом, поэтому подходит только \(x = 9\). Тогда больший катет равен \(9 + 3 = 12\) (см).

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), поэтому гипотенуза равна \(\sqrt{225} = 15\) (см).

Проверка: \(\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\) (см\(^2\)) — площадь треугольника.

2)

Дано:
прямоугольный треугольник
один катет на 7 дм короче другого
\(S = 30\) дм\(^2\)

Найти: стороны треугольника.

Решение:

Пусть меньший катет равен \(x\) дм, тогда больший равен \((x + 7)\) дм. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[\frac{1}{2}x(x + 7) = 30, \\ x(x + 7) = 60, \\ x^2 + 7x - 60 = 0.\] \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289\), \(x = \frac{-7 \pm 17}{2}\), \(x_1 = -12\), \(x_2 = 5\).

Длина катета выражается положительным числом, поэтому подходит только \(x = 5\). Тогда больший катет равен \(5 + 7 = 12\) (дм).

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\), поэтому гипотенуза равна \(\sqrt{169} = 13\) (дм).

Проверка: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\) (дм\(^2\)) — площадь треугольника.

Ответ: 1) катеты 9 см и 12 см, гипотенуза 15 см; 2) катеты 5 дм и 12 дм, гипотенуза 13 дм.