Страница 72 номер 3.3.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить биквадратное уравнение: 1) \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\); 2) \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\); 3) \(x^4 - 23x^2 - 50 = 0\); 4) \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\); 5) \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\); 6) \(x^4 - 18x^2 + 81 = 0\); 7) \(x^4 + 12x^2 + 27 = 0\); 8) \(x^4 - 18x^2 + 32 = 0\).
1) \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 13y + 36 = 0\); \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(y = \frac{13 \pm 5}{2}\), \(y_1 = 4\), \(y_2 = 9\). Отсюда \(x^2 = 4\) или \(x^2 = 9\), то есть \(x = \pm 2\) или \(x = \pm 3\);
2) \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 17y + 16 = 0\); \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225\), \(y = \frac{17 \pm 15}{2}\), \(y_1 = 1\), \(y_2 = 16\). Отсюда \(x^2 = 1\) или \(x^2 = 16\), то есть \(x = \pm 1\) или \(x = \pm 4\);
3) \(x^4 - 23x^2 - 50 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 23y - 50 = 0\); \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729\), \(y = \frac{23 \pm 27}{2}\), \(y_1 = -2\), \(y_2 = 25\). Уравнение \(x^2 = -2\) корней не имеет (квадрат числа не может быть отрицательным), а из уравнения \(x^2 = 25\) получаем \(x = \pm 5\);
4) \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 4y - 45 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\), \(y = \frac{4 \pm 14}{2}\), \(y_1 = -5\), \(y_2 = 9\). Уравнение \(x^2 = -5\) корней не имеет, а из уравнения \(x^2 = 9\) получаем \(x = \pm 3\);
5) \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 8y + 16 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\), один корень \(y = \frac{8}{2} = 4\). Из уравнения \(x^2 = 4\) получаем \(x = \pm 2\);
6) \(x^4 - 18x^2 + 81 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 18y + 81 = 0\); \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0\), один корень \(y = \frac{18}{2} = 9\). Из уравнения \(x^2 = 9\) получаем \(x = \pm 3\);
7) \(x^4 + 12x^2 + 27 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 + 12y + 27 = 0\); \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36\), \(y = \frac{-12 \pm 6}{2}\), \(y_1 = -9\), \(y_2 = -3\). Оба значения отрицательны, поэтому ни уравнение \(x^2 = -9\), ни уравнение \(x^2 = -3\) корней не имеет; исходное уравнение корней не имеет;
8) \(x^4 - 18x^2 + 32 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 18y + 32 = 0\); \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 - 128 = 196\), \(y = \frac{18 \pm 14}{2}\), \(y_1 = 2\), \(y_2 = 16\). Отсюда \(x^2 = 2\) или \(x^2 = 16\), то есть \(x = \pm\sqrt{2}\) или \(x = \pm 4\).
Ответ: 1) \(\pm 2\); \(\pm 3\); 2) \(\pm 1\); \(\pm 4\); 3) \(\pm 5\); 4) \(\pm 3\); 5) \(\pm 2\); 6) \(\pm 3\); 7) корней нет; 8) \(\pm\sqrt{2}\); \(\pm 4\).
Решить биквадратное уравнение: 1) \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\); 2) \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\); 3) \(x^4 - 23x^2 - 50 = 0\); 4) \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\); 5) \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\); 6) \(x^4 - 18x^2 + 81 = 0\); 7) \(x^4 + 12x^2 + 27 = 0\); 8) \(x^4 - 18x^2 + 32 = 0\).
Каждое уравнение биквадратное. Введём новую переменную \(y = x^2\) — относительно неё уравнение становится квадратным. Найдя значения \(y\), возвращаемся к переменной \(x\): уравнение \(x^2 = k\) при \(k > 0\) имеет два корня \(-\sqrt{k}\) и \(\sqrt{k}\), при \(k = 0\) — один корень 0, а при \(k < 0\) корней не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
1) \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 13y + 36 = 0\); \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(y = \frac{13 \pm 5}{2}\), \(y_1 = 4\), \(y_2 = 9\). Отсюда \(x^2 = 4\) или \(x^2 = 9\), то есть \(x = \pm 2\) или \(x = \pm 3\);
2) \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 17y + 16 = 0\); \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225\), \(y = \frac{17 \pm 15}{2}\), \(y_1 = 1\), \(y_2 = 16\). Отсюда \(x^2 = 1\) или \(x^2 = 16\), то есть \(x = \pm 1\) или \(x = \pm 4\);
3) \(x^4 - 23x^2 - 50 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 23y - 50 = 0\); \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729\), \(y = \frac{23 \pm 27}{2}\), \(y_1 = -2\), \(y_2 = 25\). Уравнение \(x^2 = -2\) корней не имеет, а из уравнения \(x^2 = 25\) получаем \(x = \pm 5\);
4) \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 4y - 45 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\), \(y = \frac{4 \pm 14}{2}\), \(y_1 = -5\), \(y_2 = 9\). Уравнение \(x^2 = -5\) корней не имеет, а из уравнения \(x^2 = 9\) получаем \(x = \pm 3\);
5) \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 8y + 16 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\), уравнение относительно \(y\) имеет один корень \(y = \frac{8}{2} = 4\). Из уравнения \(x^2 = 4\) получаем два корня \(x = \pm 2\);
6) \(x^4 - 18x^2 + 81 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 18y + 81 = 0\); \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0\), уравнение относительно \(y\) имеет один корень \(y = \frac{18}{2} = 9\). Из уравнения \(x^2 = 9\) получаем два корня \(x = \pm 3\);
7) \(x^4 + 12x^2 + 27 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 + 12y + 27 = 0\); \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36\), \(y = \frac{-12 \pm 6}{2}\), \(y_1 = -9\), \(y_2 = -3\). Оба значения отрицательны, поэтому ни уравнение \(x^2 = -9\), ни уравнение \(x^2 = -3\) корней не имеет; исходное уравнение корней не имеет;
8) \(x^4 - 18x^2 + 32 = 0\). Пусть \(x^2 = y\), тогда \(y^2 - 18y + 32 = 0\); \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 - 128 = 196\), \(y = \frac{18 \pm 14}{2}\), \(y_1 = 2\), \(y_2 = 16\). Отсюда \(x^2 = 2\) или \(x^2 = 16\), то есть \(x = \pm\sqrt{2}\) или \(x = \pm 4\).
Ответ: 1) \(\pm 2\); \(\pm 3\); 2) \(\pm 1\); \(\pm 4\); 3) \(\pm 5\); 4) \(\pm 3\); 5) \(\pm 2\); 6) \(\pm 3\); 7) корней нет; 8) \(\pm\sqrt{2}\); \(\pm 4\).
