Страница 71 номер 3.3.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
(Устно.) Не решая уравнения задания 3.3.13, определить знаки их корней.
Дискриминанты восьми данных уравнений равны соответственно 9, 16, 25, 9, 49, 49, 49 и 49 — все положительны, поэтому каждое уравнение имеет по два корня.
1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\): \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = 4\) — произведение положительно, сумма положительна, значит, оба корня положительны;
2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(x_1 + x_2 = 6\), \(x_1x_2 = 5\) — оба корня положительны;
3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\): \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 14\) — произведение положительно, сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны;
4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\): \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 18\) — оба корня отрицательны;
5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\): \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1x_2 = -10\) — произведение отрицательно, значит, корни разных знаков; сумма отрицательна, значит, отрицательный корень больше по модулю;
6) \(x^2 + x - 12 = 0\): \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1x_2 = -12\) — корни разных знаков, отрицательный корень больше по модулю;
7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\): \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = -6\) — корни разных знаков, положительный корень больше по модулю;
8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1x_2 = -10\) — корни разных знаков, положительный корень больше по модулю.
Ответ: 1) оба корня положительны; 2) оба корня положительны; 3) оба корня отрицательны; 4) оба корня отрицательны; 5) корни разных знаков, больший по модулю отрицателен; 6) корни разных знаков, больший по модулю отрицателен; 7) корни разных знаков, больший по модулю положителен; 8) корни разных знаков, больший по модулю положителен.
(Устно.) Не решая уравнения задания 3.3.13, определить знаки их корней.
Речь идёт об уравнениях \(x^2 - 5x + 4 = 0\), \(x^2 - 6x + 5 = 0\), \(x^2 + 9x + 14 = 0\), \(x^2 + 9x + 18 = 0\), \(x^2 + 3x - 10 = 0\), \(x^2 + x - 12 = 0\), \(x^2 - 5x - 6 = 0\), \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Их дискриминанты равны соответственно 9, 16, 25, 9, 49, 49, 49 и 49 — все положительны, поэтому каждое уравнение имеет по два корня.
Знаки корней видны из их суммы и произведения, а те по теореме Виета равны \(-p\) и \(q\). Если произведение положительно, корни одного знака, и этот знак совпадает со знаком суммы. Если произведение отрицательно, корни разных знаков, и больше по модулю тот корень, знак которого совпадает со знаком суммы.
1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\): \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = 4\) — произведение положительно, сумма положительна, значит, оба корня положительны;
2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(x_1 + x_2 = 6\), \(x_1x_2 = 5\) — оба корня положительны;
3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\): \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 14\) — произведение положительно, сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны;
4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\): \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 18\) — оба корня отрицательны;
5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\): \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1x_2 = -10\) — произведение отрицательно, значит, корни разных знаков; сумма отрицательна, значит, отрицательный корень больше по модулю;
6) \(x^2 + x - 12 = 0\): \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1x_2 = -12\) — корни разных знаков, отрицательный корень больше по модулю;
7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\): \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = -6\) — корни разных знаков, положительный корень больше по модулю;
8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1x_2 = -10\) — корни разных знаков, положительный корень больше по модулю.
Ответ: 1) оба корня положительны; 2) оба корня положительны; 3) оба корня отрицательны; 4) оба корня отрицательны; 5) корни разных знаков, больший по модулю отрицателен; 6) корни разных знаков, больший по модулю отрицателен; 7) корни разных знаков, больший по модулю положителен; 8) корни разных знаков, больший по модулю положителен.
