Страница 71 номер 3.3.13, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
(Устно.) Найти сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения, предварительно убедившись в том, что оно имеет корни: 1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\); 2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\); 3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\); 4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\); 5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\); 6) \(x^2 + x - 12 = 0\); 7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\); 8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\).
1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = 4\);
2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 6\), \(x_1x_2 = 5\);
3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\): \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 14\);
4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\): \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 18\);
5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1x_2 = -10\);
6) \(x^2 + x - 12 = 0\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1x_2 = -12\);
7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = -6\);
8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1x_2 = -10\).
Ответ: 1) сумма 5, произведение 4; 2) сумма 6, произведение 5; 3) сумма \(-9\), произведение 14; 4) сумма \(-9\), произведение 18; 5) сумма \(-3\), произведение \(-10\); 6) сумма \(-1\), произведение \(-12\); 7) сумма 5, произведение \(-6\); 8) сумма 3, произведение \(-10\).
(Устно.) Найти сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения, предварительно убедившись в том, что оно имеет корни: 1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\); 2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\); 3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\); 4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\); 5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\); 6) \(x^2 + x - 12 = 0\); 7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\); 8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\).
Уравнение имеет корни, если его дискриминант неотрицателен. По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).
1) \(x^2 - 5x + 4 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = 4\);
2) \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 6\), \(x_1x_2 = 5\);
3) \(x^2 + 9x + 14 = 0\): \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 14\);
4) \(x^2 + 9x + 18 = 0\): \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1x_2 = 18\);
5) \(x^2 + 3x - 10 = 0\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1x_2 = -10\);
6) \(x^2 + x - 12 = 0\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1x_2 = -12\);
7) \(x^2 - 5x - 6 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = -6\);
8) \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(D > 0\) — корни есть; \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1x_2 = -10\).
Ответ: 1) сумма 5, произведение 4; 2) сумма 6, произведение 5; 3) сумма \(-9\), произведение 14; 4) сумма \(-9\), произведение 18; 5) сумма \(-3\), произведение \(-10\); 6) сумма \(-1\), произведение \(-12\); 7) сумма 5, произведение \(-6\); 8) сумма 3, произведение \(-10\).
