Страница 71 номер 3.3.12, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить квадратное уравнение, используя формулу корней для уравнения со вторым чётным коэффициентом: 1) \(8x^2 + 2x - 1 = 0\); 2) \(12x^2 - 4x - 1 = 0\); 3) \(15x^2 + 22x - 5 = 0\); 4) \(15x^2 - 32x - 7 = 0\); 5) \(7x^2 - 10x + 4 = 0\); 6) \(25x^2 - 30x + 9 = 0\); 7) \(49x^2 + 70x + 25 = 0\); 8) \(6x^2 + 8x + 5 = 0\).
1) \(8x^2 + 2x - 1 = 0\): \(a = 8\), \(2k = 2\), то есть \(k = 1\), \(c = -1\); \(D_1 = 1^2 - 8 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-1 \pm 3}{8}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{1}{4}\);
2) \(12x^2 - 4x - 1 = 0\): \(a = 12\), \(k = -2\), \(c = -1\); \(D_1 = (-2)^2 - 12 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{12} = \frac{2 \pm 4}{12}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{6}\), \(x_2 = \frac{1}{2}\);
3) \(15x^2 + 22x - 5 = 0\): \(a = 15\), \(k = 11\), \(c = -5\); \(D_1 = 11^2 - 15 \cdot (-5) = 121 + 75 = 196\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{196}}{15} = \frac{-11 \pm 14}{15}\), отсюда \(x_1 = -1\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{1}{5}\);
4) \(15x^2 - 32x - 7 = 0\): \(a = 15\), \(k = -16\), \(c = -7\); \(D_1 = (-16)^2 - 15 \cdot (-7) = 256 + 105 = 361\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{16 \pm \sqrt{361}}{15} = \frac{16 \pm 19}{15}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{5}\), \(x_2 = 2\frac{1}{3}\);
5) \(7x^2 - 10x + 4 = 0\): \(a = 7\), \(k = -5\), \(c = 4\); \(D_1 = (-5)^2 - 7 \cdot 4 = 25 - 28 = -3\), \(D_1 < 0\) — корней нет;
6) \(25x^2 - 30x + 9 = 0\): \(a = 25\), \(k = -15\), \(c = 9\); \(D_1 = (-15)^2 - 25 \cdot 9 = 225 - 225 = 0\); \(x = \frac{15 \pm 0}{25} = \frac{3}{5}\);
7) \(49x^2 + 70x + 25 = 0\): \(a = 49\), \(k = 35\), \(c = 25\); \(D_1 = 35^2 - 49 \cdot 25 = 1225 - 1225 = 0\); \(x = \frac{-35 \pm 0}{49} = -\frac{5}{7}\);
8) \(6x^2 + 8x + 5 = 0\): \(a = 6\), \(k = 4\), \(c = 5\); \(D_1 = 4^2 - 6 \cdot 5 = 16 - 30 = -14\), \(D_1 < 0\) — корней нет.
Ответ: 1) \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); 2) \(-\frac{1}{6}\); \(\frac{1}{2}\); 3) \(-1\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{5}\); 4) \(-\frac{1}{5}\); \(2\frac{1}{3}\); 5) корней нет; 6) \(\frac{3}{5}\); 7) \(-\frac{5}{7}\); 8) корней нет.
Решить квадратное уравнение, используя формулу корней для уравнения со вторым чётным коэффициентом: 1) \(8x^2 + 2x - 1 = 0\); 2) \(12x^2 - 4x - 1 = 0\); 3) \(15x^2 + 22x - 5 = 0\); 4) \(15x^2 - 32x - 7 = 0\); 5) \(7x^2 - 10x + 4 = 0\); 6) \(25x^2 - 30x + 9 = 0\); 7) \(49x^2 + 70x + 25 = 0\); 8) \(6x^2 + 8x + 5 = 0\).
Если квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + 2kx + c = 0\), то при \(D_1 \geqslant 0\) его корни находят по формуле \(x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}\), где \(D_1 = k^2 - ac\); при \(D_1 < 0\) уравнение корней не имеет.
1) \(8x^2 + 2x - 1 = 0\): здесь \(a = 8\), \(2k = 2\), то есть \(k = 1\), и \(c = -1\). Тогда \(D_1 = 1^2 - 8 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-1 \pm 3}{8}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{1}{4}\);
2) \(12x^2 - 4x - 1 = 0\): \(a = 12\), \(k = -2\), \(c = -1\). Тогда \(D_1 = (-2)^2 - 12 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{12} = \frac{2 \pm 4}{12}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{6}\), \(x_2 = \frac{1}{2}\);
3) \(15x^2 + 22x - 5 = 0\): \(a = 15\), \(k = 11\), \(c = -5\). Тогда \(D_1 = 11^2 - 15 \cdot (-5) = 121 + 75 = 196\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{196}}{15} = \frac{-11 \pm 14}{15}\), отсюда \(x_1 = -1\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{1}{5}\);
4) \(15x^2 - 32x - 7 = 0\): \(a = 15\), \(k = -16\), \(c = -7\). Тогда \(D_1 = (-16)^2 - 15 \cdot (-7) = 256 + 105 = 361\), \(D_1 > 0\); \(x = \frac{16 \pm \sqrt{361}}{15} = \frac{16 \pm 19}{15}\), отсюда \(x_1 = -\frac{1}{5}\), \(x_2 = 2\frac{1}{3}\);
5) \(7x^2 - 10x + 4 = 0\): \(a = 7\), \(k = -5\), \(c = 4\). Тогда \(D_1 = (-5)^2 - 7 \cdot 4 = 25 - 28 = -3\), \(D_1 < 0\) — уравнение не имеет корней;
6) \(25x^2 - 30x + 9 = 0\): \(a = 25\), \(k = -15\), \(c = 9\). Тогда \(D_1 = (-15)^2 - 25 \cdot 9 = 225 - 225 = 0\); \(x = \frac{15 \pm 0}{25} = \frac{3}{5}\);
7) \(49x^2 + 70x + 25 = 0\): \(a = 49\), \(k = 35\), \(c = 25\). Тогда \(D_1 = 35^2 - 49 \cdot 25 = 1225 - 1225 = 0\); \(x = \frac{-35 \pm 0}{49} = -\frac{5}{7}\);
8) \(6x^2 + 8x + 5 = 0\): \(a = 6\), \(k = 4\), \(c = 5\). Тогда \(D_1 = 4^2 - 6 \cdot 5 = 16 - 30 = -14\), \(D_1 < 0\) — уравнение не имеет корней.
Ответ: 1) \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); 2) \(-\frac{1}{6}\); \(\frac{1}{2}\); 3) \(-1\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{5}\); 4) \(-\frac{1}{5}\); \(2\frac{1}{3}\); 5) корней нет; 6) \(\frac{3}{5}\); 7) \(-\frac{5}{7}\); 8) корней нет.
