Страница 69 номер 3.2.54, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Студенты трёх групп совершили два похода. В первый поход пошли \(\frac{2}{3}\) всех студентов первой группы, \(\frac{4}{5}\) — второй группы и \(\frac{5}{6}\) — третьей группы. Всего в первом походе участвовал 61 студент. Во второй поход пошли \(\frac{2}{5}\) студентов второй группы и половина студентов третьей группы. Сколько студентов было во втором походе, если всего в трёх группах 79 студентов?
Дано:
всего в трёх группах \(79\) студентов
в первый поход пошли \(\frac{2}{3}\) студентов первой группы, \(\frac{4}{5}\) — второй и \(\frac{5}{6}\) — третьей
в первом походе участвовал \(61\) студент
во второй поход пошли \(\frac{2}{5}\) студентов второй группы и половина студентов третьей
Найти: число студентов во втором походе.
Решение:
Пусть \(x\) студентов — в первой группе, \(y\) студентов — во второй, \(z\) студентов — в третьей. \[\begin{cases} x + y + z = 79, \\ \frac{2}{3}x + \frac{4}{5}y + \frac{5}{6}z = 61. \end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 30 — наименьшее общее кратное знаменателей 3, 5 и 6: \(20x + 24y + 25z = 1830\).
Из первого уравнения \(x = 79 - y - z\); подставим во второе уравнение: \(20(79 - y - z) + 24y + 25z = 1830\), \(1580 - 20y - 20z + 24y + 25z = 1830\), \(4y + 5z = 250\).
Осталось одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому численность каждой группы по отдельности найти нельзя. Но число участников второго похода выражается через уже известную сумму \(4y + 5z\): \[\frac{2}{5}y + \frac{1}{2}z = \frac{4y}{10} + \frac{5z}{10} = \frac{4y + 5z}{10} = \frac{250}{10} = 25.\]
Проверка: пусть в группах 24, 25 и 30 студентов; тогда всего их \(24 + 25 + 30 = 79\), в первый поход пошли \(\frac{2}{3} \cdot 24 + \frac{4}{5} \cdot 25 + \frac{5}{6} \cdot 30 = 16 + 20 + 25 = 61\) (студент), а во второй — \(\frac{2}{5} \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 30 = 10 + 15 = 25\) (студентов).
Ответ: во втором походе было 25 студентов.
Студенты трёх групп совершили два похода. В первый поход пошли \(\frac{2}{3}\) всех студентов первой группы, \(\frac{4}{5}\) — второй группы и \(\frac{5}{6}\) — третьей группы. Всего в первом походе участвовал 61 студент. Во второй поход пошли \(\frac{2}{5}\) студентов второй группы и половина студентов третьей группы. Сколько студентов было во втором походе, если всего в трёх группах 79 студентов?
Дано:
всего в трёх группах \(79\) студентов
в первый поход пошли \(\frac{2}{3}\) студентов первой группы, \(\frac{4}{5}\) — второй и \(\frac{5}{6}\) — третьей
в первом походе участвовал \(61\) студент
во второй поход пошли \(\frac{2}{5}\) студентов второй группы и половина студентов третьей
Найти: число студентов во втором походе.
Решение:
Пусть \(x\) студентов — в первой группе, \(y\) студентов — во второй, \(z\) студентов — в третьей.
Всего в трёх группах 79 студентов: \(x + y + z = 79\).
В первом походе участвовал 61 студент: \(\frac{2}{3}x + \frac{4}{5}y + \frac{5}{6}z = 61\).
\[\begin{cases} x + y + z = 79, \\ \frac{2}{3}x + \frac{4}{5}y + \frac{5}{6}z = 61. \end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 30 — наименьшее общее кратное знаменателей 3, 5 и 6: \(20x + 24y + 25z = 1830\).
Из первого уравнения \(x = 79 - y - z\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\begin{aligned} 20(79 - y - z) + 24y + 25z &= 1830, \\ 1580 - 20y - 20z + 24y + 25z &= 1830, \\ 4y + 5z &= 250. \end{aligned}\]
Осталось одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому численность каждой группы по отдельности найти нельзя. Но во второй поход пошли \(\frac{2}{5}y\) студентов второй группы и \(\frac{1}{2}z\) студентов третьей, а это число выражается через сумму \(4y + 5z\), которая уже известна: \[\frac{2}{5}y + \frac{1}{2}z = \frac{4y}{10} + \frac{5z}{10} = \frac{4y + 5z}{10} = \frac{250}{10} = 25.\]
Проверка: пусть в группах 24, 25 и 30 студентов; тогда всего их \(24 + 25 + 30 = 79\), в первый поход пошли \(\frac{2}{3} \cdot 24 + \frac{4}{5} \cdot 25 + \frac{5}{6} \cdot 30 = 16 + 20 + 25 = 61\) (студент), а во второй — \(\frac{2}{5} \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 30 = 10 + 15 = 25\) (студентов).
Ответ: во втором походе было 25 студентов.
