Страница 69 номер 3.2.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Всё поле 3 комбайна типа \(A\) и 5 комбайнов типа \(B\) убрали за 25 ч. За один час 5 комбайнов типа \(A\) и 3 комбайна типа \(B\) убрали бы \(\frac{17}{375}\) этого поля. За сколько часов убрали бы всё поле 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\)?
Дано:
\(3\) комбайна типа \(A\) и \(5\) комбайнов типа \(B\) убирают всё поле за \(25\) ч
\(5\) комбайнов типа \(A\) и \(3\) комбайна типа \(B\) убирают за \(1\) ч \(\frac{17}{375}\) поля
Найти: за сколько часов убрали бы всё поле 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\).
Решение:
Всё поле примем за единицу. Пусть \(x\) — часть поля, которую убирает за 1 ч один комбайн типа \(A\), а \(y\) — часть поля, которую убирает за 1 ч один комбайн типа \(B\).
За 25 ч 3 комбайна типа \(A\) и 5 комбайнов типа \(B\) убирают всё поле: \(25(3x + 5y) = 1\), то есть \(3x + 5y = \frac{1}{25}\).
За 1 ч 5 комбайнов типа \(A\) и 3 комбайна типа \(B\) убирают \(\frac{17}{375}\) поля: \(5x + 3y = \frac{17}{375}\).
Умножим первое уравнение на 5, а второе на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} 15x + 25y = \frac{1}{5}, \\ -15x - 9y = -\frac{17}{125}. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(16y = \frac{1}{5} - \frac{17}{125} = \frac{25}{125} - \frac{17}{125} = \frac{8}{125}\), откуда \(y = \frac{8}{125} : 16 = \frac{1}{250}\).
Подставим \(y = \frac{1}{250}\) в уравнение \(3x + 5y = \frac{1}{25}\): \(3x + \frac{1}{50} = \frac{1}{25}\), \(3x = \frac{1}{25} - \frac{1}{50} = \frac{1}{50}\), \(x = \frac{1}{150}\).
\(6x + 15y = \frac{6}{150} + \frac{15}{250} = \frac{1}{25} + \frac{3}{50} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}\) — часть поля, убираемая за 1 ч шестью комбайнами типа \(A\) и пятнадцатью комбайнами типа \(B\).
\(1 : \frac{1}{10} = 10\) (ч) — за столько эти комбайны уберут всё поле.
Проверка: \(3 \cdot \frac{1}{150} + 5 \cdot \frac{1}{250} = \frac{1}{50} + \frac{1}{50} = \frac{1}{25}\) — часть поля, убираемая за 1 ч тремя комбайнами типа \(A\) и пятью комбайнами типа \(B\), и за 25 ч они уберут \(25 \cdot \frac{1}{25} = 1\), то есть всё поле; \(5 \cdot \frac{1}{150} + 3 \cdot \frac{1}{250} = \frac{25}{750} + \frac{9}{750} = \frac{34}{750} = \frac{17}{375}\) — часть поля, убираемая за 1 ч пятью комбайнами типа \(A\) и тремя комбайнами типа \(B\).
Ответ: 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\) убрали бы всё поле за 10 ч.
Всё поле 3 комбайна типа \(A\) и 5 комбайнов типа \(B\) убрали за 25 ч. За один час 5 комбайнов типа \(A\) и 3 комбайна типа \(B\) убрали бы \(\frac{17}{375}\) этого поля. За сколько часов убрали бы всё поле 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\)?
Дано:
\(3\) комбайна типа \(A\) и \(5\) комбайнов типа \(B\) убирают всё поле за \(25\) ч
\(5\) комбайнов типа \(A\) и \(3\) комбайна типа \(B\) убирают за \(1\) ч \(\frac{17}{375}\) поля
Найти: за сколько часов убрали бы всё поле 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\).
Решение:
Всё поле примем за единицу. Пусть \(x\) — часть поля, которую убирает за 1 ч один комбайн типа \(A\), а \(y\) — часть поля, которую убирает за 1 ч один комбайн типа \(B\).
За 1 ч 3 комбайна типа \(A\) и 5 комбайнов типа \(B\) убирают \(3x + 5y\) поля, а за 25 ч — всё поле: \(25(3x + 5y) = 1\), то есть \(3x + 5y = \frac{1}{25}\).
За 1 ч 5 комбайнов типа \(A\) и 3 комбайна типа \(B\) убирают \(\frac{17}{375}\) поля: \(5x + 3y = \frac{17}{375}\).
\[\begin{cases} 3x + 5y = \frac{1}{25}, \\ 5x + 3y = \frac{17}{375}. \end{cases}\]
Решим систему способом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} 15x + 25y = \frac{1}{5}, \\ -15x - 9y = -\frac{17}{125}. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \[16y = \frac{1}{5} - \frac{17}{125} = \frac{25}{125} - \frac{17}{125} = \frac{8}{125}.\]
Значит, \(y = \frac{8}{125} : 16 = \frac{1}{250}\).
Подставим \(y = \frac{1}{250}\) в первое уравнение исходной системы: \(3x + 5 \cdot \frac{1}{250} = \frac{1}{25}\), то есть \(3x + \frac{1}{50} = \frac{1}{25}\), откуда \(3x = \frac{1}{25} - \frac{1}{50} = \frac{1}{50}\) и \(x = \frac{1}{150}\).
За 1 ч 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\) убирают \(6x + 15y\) поля: \[6x + 15y = \frac{6}{150} + \frac{15}{250} = \frac{1}{25} + \frac{3}{50} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}.\]
Всё поле эти комбайны уберут за \(1 : \frac{1}{10} = 10\) (ч).
Проверка: \(3 \cdot \frac{1}{150} + 5 \cdot \frac{1}{250} = \frac{1}{50} + \frac{1}{50} = \frac{1}{25}\) — часть поля, убираемая за 1 ч тремя комбайнами типа \(A\) и пятью комбайнами типа \(B\), и за 25 ч они уберут \(25 \cdot \frac{1}{25} = 1\), то есть всё поле; \(5 \cdot \frac{1}{150} + 3 \cdot \frac{1}{250} = \frac{25}{750} + \frac{9}{750} = \frac{34}{750} = \frac{17}{375}\) — часть поля, убираемая за 1 ч пятью комбайнами типа \(A\) и тремя комбайнами типа \(B\).
Ответ: 6 комбайнов типа \(A\) и 15 комбайнов типа \(B\) убрали бы всё поле за 10 ч.
