Страница 69 номер 3.2.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Имелись два сплава золота с серебром. В сплаве \(A\) массы золота и серебра относились как \(1 : 2\), а в сплаве \(B\) — как \(2 : 3\). Когда эти сплавы сплавили вместе, получили сплав с отношением масс золота и серебра \(7 : 12\). Чему было равно отношение масс сплавов \(A\) и \(B\)?
Дано:
в сплаве \(A\) массы золота и серебра относятся как \(1 : 2\)
в сплаве \(B\) массы золота и серебра относятся как \(2 : 3\)
сплавы \(A\) и \(B\) сплавили вместе
в полученном сплаве массы золота и серебра относятся как \(7 : 12\)
Найти: отношение масс сплавов \(A\) и \(B\).
Решение:
Пусть \(x\) кг — масса сплава \(A\), а \(y\) кг — масса сплава \(B\).
В сплаве \(A\) золото составляет \(\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}\) массы сплава: золота \(\frac{1}{3}x\) кг, серебра \(\frac{2}{3}x\) кг.
В сплаве \(B\) золота \(\frac{2}{5}y\) кг, серебра \(\frac{3}{5}y\) кг.
После сплавления золота стало \(\left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y\right)\) кг, серебра — \(\left(\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y\right)\) кг, и эти массы относятся как \(7 : 12\): \[\frac{\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y}{\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y} = \frac{7}{12}.\]
По основному свойству пропорции \(12\left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y\right) = 7\left(\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y\right)\).
Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на 15: \(4x + \frac{24}{5}y = \frac{14}{3}x + \frac{21}{5}y\), \(60x + 72y = 70x + 63y\), \(9y = 10x\).
Из равенства \(10x = 9y\) по основному свойству пропорции получаем \(\frac{x}{y} = \frac{9}{10}\).
Проверка: если масса сплава \(A\) равна 9 кг, а масса сплава \(B\) — 10 кг, то золота в полученном сплаве \(\frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 10 = 3 + 4 = 7\) (кг), а серебра \(\frac{2}{3} \cdot 9 + \frac{3}{5} \cdot 10 = 6 + 6 = 12\) (кг), и их массы относятся как \(7 : 12\).
Ответ: массы сплавов \(A\) и \(B\) относились как \(9 : 10\).
Имелись два сплава золота с серебром. В сплаве \(A\) массы золота и серебра относились как \(1 : 2\), а в сплаве \(B\) — как \(2 : 3\). Когда эти сплавы сплавили вместе, получили сплав с отношением масс золота и серебра \(7 : 12\). Чему было равно отношение масс сплавов \(A\) и \(B\)?
Дано:
в сплаве \(A\) массы золота и серебра относятся как \(1 : 2\)
в сплаве \(B\) массы золота и серебра относятся как \(2 : 3\)
сплавы \(A\) и \(B\) сплавили вместе
в полученном сплаве массы золота и серебра относятся как \(7 : 12\)
Найти: отношение масс сплавов \(A\) и \(B\).
Решение:
Пусть \(x\) кг — масса сплава \(A\), а \(y\) кг — масса сплава \(B\).
В сплаве \(A\) массы золота и серебра относятся как \(1 : 2\), поэтому золото составляет \(\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}\) массы этого сплава, а серебро \(\frac{2}{3}\) его массы: золота \(\frac{1}{3}x\) кг, серебра \(\frac{2}{3}x\) кг.
В сплаве \(B\) массы золота и серебра относятся как \(2 : 3\), поэтому золота в нём \(\frac{2}{5}y\) кг, а серебра \(\frac{3}{5}y\) кг.
После сплавления золота стало \(\left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y\right)\) кг, серебра — \(\left(\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y\right)\) кг, и эти массы относятся как \(7 : 12\): \[\frac{\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y}{\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y} = \frac{7}{12}.\]
По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: \[12\left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y\right) = 7\left(\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y\right).\]
Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на 15: \[\begin{aligned} 4x + \frac{24}{5}y &= \frac{14}{3}x + \frac{21}{5}y, \\ 60x + 72y &= 70x + 63y, \\ 9y &= 10x. \end{aligned}\]
Из равенства \(10x = 9y\) по основному свойству пропорции получаем \(\frac{x}{y} = \frac{9}{10}\).
Проверка: если масса сплава \(A\) равна 9 кг, а масса сплава \(B\) — 10 кг, то золота в полученном сплаве \(\frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 10 = 3 + 4 = 7\) (кг), а серебра \(\frac{2}{3} \cdot 9 + \frac{3}{5} \cdot 10 = 6 + 6 = 12\) (кг), и их массы относятся как \(7 : 12\).
Ответ: массы сплавов \(A\) и \(B\) относились как \(9 : 10\).
