Страница 69 номер 3.2.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1) Решим систему \(\begin{cases} -4x + ay = 1 + a, \\ (6 + a)x + 2y = 3 + a \end{cases}\) способом сложения.

Умножим первое уравнение на 2, а второе на \(-a\), чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} -8x + 2ay = 2 + 2a, \\ -a(6 + a)x - 2ay = -a(3 + a). \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \((-8 - 6a - a^2)x = 2 + 2a - 3a - a^2\), то есть \(-(a^2 + 6a + 8)x = -(a^2 + a - 2)\).

Разложим обе части на множители способом группировки: \(a^2 + 6a + 8 = a(a + 2) + 4(a + 2) = (a + 2)(a + 4)\) и \(a^2 + a - 2 = a(a + 2) - (a + 2) = (a + 2)(a - 1)\). Уравнение принимает вид \((a + 2)(a + 4)x = (a + 2)(a - 1)\).

Если \(a \ne -2\) и \(a \ne -4\), то обе части можно разделить на \((a + 2)(a + 4)\): \(x = \frac{a - 1}{a + 4}\). Подставим это значение во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} 2y &= (3 + a) - \frac{(6 + a)(a - 1)}{a + 4} = {} \\ &= \frac{(3 + a)(a + 4) - (6 + a)(a - 1)}{a + 4} = {} \\ &= \frac{a^2 + 7a + 12 - a^2 - 5a + 6}{a + 4} = \frac{2a + 18}{a + 4}. \end{aligned}\]

Значит, \(y = \frac{a + 9}{a + 4}\).

Если \(a = -2\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число. Система при этом принимает вид \(\begin{cases} -4x - 2y = -1, \\ 4x + 2y = 1, \end{cases}\) её уравнения равносильны, и решений бесконечно много: \(y = 0{,}5 - 2x\), где \(x\) — любое число.

Если \(a = -4\), уравнение принимает вид \(0x = (-2) \cdot (-5)\), то есть \(0x = 10\): корней нет, и система решений не имеет.

2) Решим систему \(\begin{cases} (3 + a)x + 2y = 3, \\ ax - y = 3 \end{cases}\) способом подстановки.

Из второго уравнения \(y = ax - 3\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[\begin{aligned} (3 + a)x + 2(ax - 3) &= 3, \\ (3 + a)x + 2ax - 6 &= 3, \\ (3 + 3a)x &= 9, \\ (1 + a)x &= 3. \end{aligned}\]

Если \(1 + a \ne 0\), то есть \(a \ne -1\), то \(x = \frac{3}{1 + a}\). Тогда \[y = a \cdot \frac{3}{1 + a} - 3 = \frac{3a - 3 - 3a}{1 + a} = -\frac{3}{1 + a}.\]

Если \(a = -1\), уравнение принимает вид \(0x = 3\): корней нет, и система решений не имеет.

3) Решим систему \(\begin{cases} (1 + b)x + 3y = 5, \\ (7 - b)x + by = 5 \end{cases}\) способом сложения.

Умножим первое уравнение на \(b\), а второе на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} b(1 + b)x + 3by = 5b, \\ -3(7 - b)x - 3by = -15. \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \((b + b^2 - 21 + 3b)x = 5b - 15\), то есть \((b^2 + 4b - 21)x = 5(b - 3)\).

Разложим коэффициент при \(x\) на множители способом группировки: \(b^2 + 4b - 21 = b(b + 7) - 3(b + 7) = (b + 7)(b - 3)\). Уравнение принимает вид \((b + 7)(b - 3)x = 5(b - 3)\).

Если \(b \ne 3\) и \(b \ne -7\), то обе части можно разделить на \((b + 7)(b - 3)\): \(x = \frac{5}{b + 7}\). Подставим это значение в первое уравнение системы: \[3y = 5 - \frac{5(1 + b)}{b + 7} = \frac{5(b + 7) - 5(1 + b)}{b + 7} = \frac{30}{b + 7}.\]

Значит, \(y = \frac{10}{b + 7}\).

Если \(b = 3\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число. Система при этом принимает вид \(\begin{cases} 4x + 3y = 5, \\ 4x + 3y = 5, \end{cases}\) её уравнения одинаковы, и решений бесконечно много: \(y = \frac{5 - 4x}{3}\), где \(x\) — любое число.

Если \(b = -7\), уравнение принимает вид \(0x = 5 \cdot (-10)\), то есть \(0x = -50\): корней нет, и система решений не имеет.

4) Решим систему \(\begin{cases} 3x + by = 1, \\ bx + 12y = 2 \end{cases}\) способом сложения.

Умножим первое уравнение на \(b\), а второе на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} 3bx + b^2y = b, \\ -3bx - 36y = -6. \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \((b^2 - 36)y = b - 6\). По формуле разности квадратов \(b^2 - 36 = (b - 6)(b + 6)\), поэтому уравнение принимает вид \((b - 6)(b + 6)y = b - 6\).

Если \(b \ne 6\) и \(b \ne -6\), то обе части можно разделить на \((b - 6)(b + 6)\): \(y = \frac{1}{b + 6}\). Подставим это значение в первое уравнение системы: \[3x = 1 - \frac{b}{b + 6} = \frac{b + 6 - b}{b + 6} = \frac{6}{b + 6}.\]

Значит, \(x = \frac{2}{b + 6}\).

Если \(b = 6\), уравнение принимает вид \(0y = 0\), и корнем является любое число. Система при этом принимает вид \(\begin{cases} 3x + 6y = 1, \\ 6x + 12y = 2, \end{cases}\) второе её уравнение получается из первого умножением обеих частей на 2, и решений бесконечно много: \(y = \frac{1 - 3x}{6}\), где \(x\) — любое число.

Если \(b = -6\), уравнение принимает вид \(0y = -12\): корней нет, и система решений не имеет.

Ответ: 1) при \(a = -2\) решений бесконечно много: \(y = 0{,}5 - 2x\), где \(x\) — любое число; при \(a = -4\) решений нет; при \(a \ne -2\) и \(a \ne -4\) единственное решение \(\left(\frac{a - 1}{a + 4};\ \frac{a + 9}{a + 4}\right)\); 2) при \(a = -1\) решений нет; при \(a \ne -1\) единственное решение \(\left(\frac{3}{1 + a};\ -\frac{3}{1 + a}\right)\); 3) при \(b = 3\) решений бесконечно много: \(y = \frac{5 - 4x}{3}\), где \(x\) — любое число; при \(b = -7\) решений нет; при \(b \ne 3\) и \(b \ne -7\) единственное решение \(\left(\frac{5}{b + 7};\ \frac{10}{b + 7}\right)\); 4) при \(b = 6\) решений бесконечно много: \(y = \frac{1 - 3x}{6}\), где \(x\) — любое число; при \(b = -6\) решений нет; при \(b \ne 6\) и \(b \ne -6\) единственное решение \(\left(\frac{2}{b + 6};\ \frac{1}{b + 6}\right)\).