Страница 68 номер 3.2.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти значения параметра, при которых система имеет бесчисленное множество решений: 1) \(\begin{cases}mx + y = m,\\ x + my = m^2;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + ny = 1,\\ nx + y = n^2.\end{cases}\) Записать все эти решения.
Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой и равно отношению свободных членов: прямые совпадают, и решениями служат все решения любого из уравнений системы.
1) Приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{m}{1} = \frac{1}{m}\), откуда \(m^2 = 1\), то есть \(m^2 - 1 = 0\) и \((m - 1)(m + 1) = 0\), поэтому \(m = 1\) или \(m = -1\).
При \(m = 1\) система принимает вид \(\begin{cases} x + y = 1, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Уравнения одинаковы, значит, решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
При \(m = -1\) система принимает вид \(\begin{cases} -x + y = -1, \\ x - y = 1. \end{cases}\) Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на \(-1\), значит, решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = x - 1\), где \(x\) — любое число.
2) Приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{1}{n} = \frac{n}{1}\), откуда \(n^2 = 1\), то есть \(n^2 - 1 = 0\) и \((n - 1)(n + 1) = 0\), поэтому \(n = 1\) или \(n = -1\).
При \(n = 1\) система принимает вид \(\begin{cases} x + y = 1, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Уравнения одинаковы, значит, решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
При \(n = -1\) система принимает вид \(\begin{cases} x - y = 1, \\ -x + y = 1. \end{cases}\) Умножив второе уравнение на \(-1\), получим \(x - y = -1\); разность \(x - y\) не может быть равна одновременно 1 и \(-1\), поэтому при \(n = -1\) система решений не имеет и это значение не подходит.
Ответ: 1) при \(m = 1\) решениями служат все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), а при \(m = -1\) — все пары чисел, у которых \(y = x - 1\) (\(x\) — любое число); 2) только при \(n = 1\), и решениями служат все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
Найти значения параметра, при которых система имеет бесчисленное множество решений: 1) \(\begin{cases}mx + y = m,\\ x + my = m^2;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + ny = 1,\\ nx + y = n^2.\end{cases}\) Записать все эти решения.
Система двух линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной и равно отношению свободных членов. При этом прямые — графики уравнений системы — совпадают, и решениями служат все решения любого из её уравнений.
1) В системе \(\begin{cases} mx + y = m, \\ x + my = m^2 \end{cases}\) приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{m}{1} = \frac{1}{m}\).
По основному свойству пропорции \(m^2 = 1\), то есть \(m^2 - 1 = 0\). По формуле разности квадратов \((m - 1)(m + 1) = 0\), поэтому \(m = 1\) или \(m = -1\). Проверим каждое из этих значений.
При \(m = 1\) система принимает вид \(\begin{cases} x + y = 1, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Уравнения одинаковы, значит, решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
При \(m = -1\) система принимает вид \(\begin{cases} -x + y = -1, \\ x - y = 1. \end{cases}\) Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на \(-1\), значит, уравнения равносильны и решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = x - 1\), где \(x\) — любое число.
2) В системе \(\begin{cases} x + ny = 1, \\ nx + y = n^2 \end{cases}\) приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{1}{n} = \frac{n}{1}\).
По основному свойству пропорции \(n^2 = 1\), то есть \(n^2 - 1 = 0\), и по формуле разности квадратов \((n - 1)(n + 1) = 0\), поэтому \(n = 1\) или \(n = -1\). Проверим каждое из этих значений.
При \(n = 1\) система принимает вид \(\begin{cases} x + y = 1, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Уравнения одинаковы, значит, решений бесчисленное множество: это все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
При \(n = -1\) система принимает вид \(\begin{cases} x - y = 1, \\ -x + y = 1. \end{cases}\) Умножив второе уравнение на \(-1\), получим \(x - y = -1\); разность \(x - y\) не может быть равна одновременно 1 и \(-1\), поэтому при \(n = -1\) система решений не имеет и это значение не подходит.
Ответ: 1) при \(m = 1\) решениями служат все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), а при \(m = -1\) — все пары чисел, у которых \(y = x - 1\) (\(x\) — любое число); 2) только при \(n = 1\), и решениями служат все пары чисел, у которых \(y = 1 - x\), где \(x\) — любое число.
