Страница 68 номер 3.2.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Указать значение параметра, при котором не имеет решений система: 1) \(\begin{cases}ax - 4y = a + 1,\\ 2x + (a + 6)y = a + 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}2x + (9b^2 - 2)y = 6b - 2,\\ x + y = 1.\end{cases}\)
Система не имеет решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой, но не равно отношению свободных членов.
1) Приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{a}{2} = \frac{-4}{a + 6}\), откуда по основному свойству пропорции \(a(a + 6) = -8\).
Разложим левую часть на множители способом группировки: \(a^2 + 6a + 8 = 0\), \(a(a + 2) + 4(a + 2) = 0\), \((a + 2)(a + 4) = 0\), поэтому \(a = -2\) или \(a = -4\).
При \(a = -2\) система принимает вид \(\begin{cases} -2x - 4y = -1, \\ 2x + 4y = 1. \end{cases}\) Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на \(-1\), поэтому уравнения равносильны и система имеет бесконечно много решений.
При \(a = -4\) система принимает вид \(\begin{cases} -4x - 4y = -3, \\ 2x + 2y = -1. \end{cases}\) Умножив второе уравнение на \(-2\), получим \(-4x - 4y = 2\); вместе с первым уравнением это давало бы неверное равенство \(-3 = 2\), значит, система решений не имеет.
2) Отношение коэффициентов при \(x\) равно \(\frac{2}{1} = 2\); приравняем к нему отношение коэффициентов при \(y\): \(\frac{9b^2 - 2}{1} = 2\), откуда \(9b^2 = 4\), то есть \(9b^2 - 4 = 0\).
По формуле разности квадратов \((3b - 2)(3b + 2) = 0\), поэтому \(b = \frac{2}{3}\) или \(b = -\frac{2}{3}\).
При \(b = \frac{2}{3}\): \(9b^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) и \(6b - 2 = 4 - 2 = 2\), система принимает вид \(\begin{cases} 2x + 2y = 2, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Первое уравнение получается из второго умножением обеих частей на 2, поэтому система имеет бесконечно много решений.
При \(b = -\frac{2}{3}\): \(9b^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) и \(6b - 2 = -4 - 2 = -6\), система принимает вид \(\begin{cases} 2x + 2y = -6, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Разделив первое уравнение на 2, получим \(x + y = -3\); сумма \(x + y\) не может быть равна одновременно \(-3\) и 1, значит, система решений не имеет.
Ответ: 1) \(a = -4\); 2) \(b = -\frac{2}{3}\).
Указать значение параметра, при котором не имеет решений система: 1) \(\begin{cases}ax - 4y = a + 1,\\ 2x + (a + 6)y = a + 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}2x + (9b^2 - 2)y = 6b - 2,\\ x + y = 1.\end{cases}\)
Система двух линейных уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при одной переменной равно отношению коэффициентов при другой переменной, но не равно отношению свободных членов.
1) В системе \(\begin{cases} ax - 4y = a + 1, \\ 2x + (a + 6)y = a + 3 \end{cases}\) приравняем отношение коэффициентов при \(x\) к отношению коэффициентов при \(y\): \(\frac{a}{2} = \frac{-4}{a + 6}\).
По основному свойству пропорции \(a(a + 6) = -8\). Разложим левую часть полученного уравнения на множители способом группировки: \[\begin{aligned} a^2 + 6a + 8 &= 0, \\ a(a + 2) + 4(a + 2) &= 0, \\ (a + 2)(a + 4) &= 0. \end{aligned}\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(a = -2\) или \(a = -4\). Проверим каждое из этих значений.
При \(a = -2\) система принимает вид \(\begin{cases} -2x - 4y = -1, \\ 2x + 4y = 1. \end{cases}\) Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на \(-1\), поэтому уравнения равносильны и система имеет бесконечно много решений.
При \(a = -4\) система принимает вид \(\begin{cases} -4x - 4y = -3, \\ 2x + 2y = -1. \end{cases}\) Умножив второе уравнение на \(-2\), получим \(-4x - 4y = 2\); вместе с первым уравнением это давало бы \(-3 = 2\) — неверное числовое равенство. Значит, система решений не имеет.
2) В системе \(\begin{cases} 2x + (9b^2 - 2)y = 6b - 2, \\ x + y = 1 \end{cases}\) отношение коэффициентов при \(x\) равно \(\frac{2}{1} = 2\). Приравняем к нему отношение коэффициентов при \(y\): \(\frac{9b^2 - 2}{1} = 2\), откуда \(9b^2 = 4\), то есть \(9b^2 - 4 = 0\).
По формуле разности квадратов \((3b - 2)(3b + 2) = 0\), поэтому \(b = \frac{2}{3}\) или \(b = -\frac{2}{3}\). Проверим каждое из этих значений.
При \(b = \frac{2}{3}\): \(9b^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) и \(6b - 2 = 4 - 2 = 2\), система принимает вид \(\begin{cases} 2x + 2y = 2, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Первое уравнение получается из второго умножением обеих частей на 2, поэтому система имеет бесконечно много решений.
При \(b = -\frac{2}{3}\): \(9b^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) и \(6b - 2 = -4 - 2 = -6\), система принимает вид \(\begin{cases} 2x + 2y = -6, \\ x + y = 1. \end{cases}\) Разделив первое уравнение на 2, получим \(x + y = -3\); сумма \(x + y\) не может быть равна одновременно \(-3\) и 1. Значит, система решений не имеет.
Ответ: 1) \(a = -4\); 2) \(b = -\frac{2}{3}\).
