Страница 68 номер 3.2.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти значения параметра \(a\), при которых система уравнений имеет единственное решение: 1) \(\begin{cases}ax + y = 1,\\ x + y = a;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}ax - 2y = a,\\ (a - 1)x - y = 1.\end{cases}\) Записать это решение.
1) Из второго уравнения \(y = a - x\). Подставим в первое уравнение: \(ax + a - x = 1\), \((a - 1)x = 1 - a\), то есть \((a - 1)x = -(a - 1)\).
Если \(a - 1 \ne 0\), то есть \(a \ne 1\), то обе части можно разделить на \(a - 1\): \(x = -1\); тогда \(y = a - (-1) = a + 1\), и система имеет единственное решение \((-1;\ a + 1)\).
Если \(a = 1\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число: оба уравнения системы обращаются в одно и то же уравнение \(x + y = 1\), и решений бесконечно много.
Проверка при \(a \ne 1\): \(a \cdot (-1) + (a + 1) = 1\) и \(-1 + (a + 1) = a\) — оба равенства верны.
2) Из второго уравнения \(y = (a - 1)x - 1\). Подставим в первое уравнение: \(ax - 2\left((a - 1)x - 1\right) = a\), \(ax - 2(a - 1)x + 2 = a\), \((a - 2a + 2)x = a - 2\), то есть \((2 - a)x = -(2 - a)\).
Если \(2 - a \ne 0\), то есть \(a \ne 2\), то обе части можно разделить на \(2 - a\): \(x = -1\); тогда \(y = (a - 1) \cdot (-1) - 1 = -a\), и система имеет единственное решение \((-1;\ -a)\).
Если \(a = 2\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число: оба уравнения системы обращаются в одно и то же уравнение \(x - y = 1\), и решений бесконечно много.
Проверка при \(a \ne 2\): \(a \cdot (-1) - 2 \cdot (-a) = -a + 2a = a\) и \((a - 1) \cdot (-1) - (-a) = -a + 1 + a = 1\) — оба равенства верны.
Ответ: 1) при \(a \ne 1\) система имеет единственное решение \((-1;\ a + 1)\); 2) при \(a \ne 2\) система имеет единственное решение \((-1;\ -a)\).
Найти значения параметра \(a\), при которых система уравнений имеет единственное решение: 1) \(\begin{cases}ax + y = 1,\\ x + y = a;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}ax - 2y = a,\\ (a - 1)x - y = 1.\end{cases}\) Записать это решение.
1) Решим систему \(\begin{cases} ax + y = 1, \\ x + y = a \end{cases}\) способом подстановки.
Из второго уравнения \(y = a - x\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[\begin{aligned} ax + a - x &= 1, \\ (a - 1)x &= 1 - a, \\ (a - 1)x &= -(a - 1). \end{aligned}\]
Если \(a - 1 \ne 0\), то есть \(a \ne 1\), то обе части последнего уравнения можно разделить на \(a - 1\): \(x = -1\). Тогда \(y = a - (-1) = a + 1\), и система имеет единственное решение \((-1;\ a + 1)\).
Если \(a = 1\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число: оба уравнения системы обращаются в одно и то же уравнение \(x + y = 1\), и решений бесконечно много.
Проверка при \(a \ne 1\): \(a \cdot (-1) + (a + 1) = 1\) и \(-1 + (a + 1) = a\) — оба равенства верны.
2) Решим систему \(\begin{cases} ax - 2y = a, \\ (a - 1)x - y = 1 \end{cases}\) способом подстановки.
Из второго уравнения \(y = (a - 1)x - 1\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[\begin{aligned} ax - 2\left((a - 1)x - 1\right) &= a, \\ ax - 2(a - 1)x + 2 &= a, \\ (a - 2a + 2)x &= a - 2, \\ (2 - a)x &= -(2 - a). \end{aligned}\]
Если \(2 - a \ne 0\), то есть \(a \ne 2\), то обе части последнего уравнения можно разделить на \(2 - a\): \(x = -1\). Тогда \(y = (a - 1) \cdot (-1) - 1 = -a\), и система имеет единственное решение \((-1;\ -a)\).
Если \(a = 2\), уравнение принимает вид \(0x = 0\), и корнем является любое число: оба уравнения системы обращаются в одно и то же уравнение \(x - y = 1\), и решений бесконечно много.
Проверка при \(a \ne 2\): \(a \cdot (-1) - 2 \cdot (-a) = -a + 2a = a\) и \((a - 1) \cdot (-1) - (-a) = -a + 1 + a = 1\) — оба равенства верны.
Ответ: 1) при \(a \ne 1\) система имеет единственное решение \((-1;\ a + 1)\); 2) при \(a \ne 2\) система имеет единственное решение \((-1;\ -a)\).
