Страница 68 номер 3.2.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Сумма цифр двузначного числа равна 11. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, на 63 меньше исходного. Найти исходное число. 2) Число десятков двузначного числа вдвое меньше числа его единиц. Если исходное число записать теми же цифрами, но в обратном порядке, то новое число окажется на 36 больше исходного числа. Найти исходное число.
Двузначное число, у которого \(a\) десятков и \(b\) единиц, равно \(10a + b\), а записанное теми же цифрами в обратном порядке — \(10b + a\); здесь \(a\) и \(b\) — цифры, причём \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).
1) Пусть \(a\) — число десятков исходного числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр равна 11: \(a + b = 11\).
Число, записанное в обратном порядке, на 63 меньше исходного: \((10a + b) - (10b + a) = 63\), то есть \(9a - 9b = 63\), или \(a - b = 7\).
Сложим уравнения \(a + b = 11\) и \(a - b = 7\) почленно: \(2a = 18\), откуда \(a = 9\). Тогда \(b = 11 - 9 = 2\).
Числа \(a = 9\) и \(b = 2\) — цифры, отличные от нуля, значит, исходное число \(10 \cdot 9 + 2 = 92\).
Проверка: \(9 + 2 = 11\) — сумма цифр; \(92 - 29 = 63\) — число, записанное в обратном порядке, меньше исходного на 63.
2) Пусть \(a\) — число десятков исходного числа, а \(b\) — число его единиц.
Число десятков вдвое меньше числа единиц: \(b = 2a\).
Новое число на 36 больше исходного: \((10b + a) - (10a + b) = 36\), то есть \(9b - 9a = 36\), или \(b - a = 4\).
Подставим \(b = 2a\): \(2a - a = 4\), откуда \(a = 4\). Тогда \(b = 2 \cdot 4 = 8\).
Числа \(a = 4\) и \(b = 8\) — цифры, отличные от нуля, значит, исходное число \(10 \cdot 4 + 8 = 48\).
Проверка: \(4 = 8 : 2\) — число десятков вдвое меньше числа единиц; \(84 - 48 = 36\) — новое число больше исходного на 36.
Ответ: 1) 92; 2) 48.
1) Сумма цифр двузначного числа равна 11. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, на 63 меньше исходного. Найти исходное число. 2) Число десятков двузначного числа вдвое меньше числа его единиц. Если исходное число записать теми же цифрами, но в обратном порядке, то новое число окажется на 36 больше исходного числа. Найти исходное число.
Двузначное число, у которого \(a\) десятков и \(b\) единиц, равно \(10a + b\); число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно \(10b + a\). Здесь \(a\) и \(b\) — цифры, то есть целые числа от 0 до 9, причём \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).
1) Пусть \(a\) — число десятков исходного числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр равна 11: \(a + b = 11\).
Число, записанное в обратном порядке, на 63 меньше исходного: \((10a + b) - (10b + a) = 63\).
\[\begin{cases} a + b = 11, \\ (10a + b) - (10b + a) = 63. \end{cases}\]
Преобразуем второе уравнение: \(9a - 9b = 63\), то есть \(a - b = 7\).
\[\begin{cases} a + b = 11, \\ a - b = 7. \end{cases}\]
Коэффициенты при \(b\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(2a = 18\), откуда \(a = 9\). Тогда \(b = 11 - 9 = 2\).
Числа \(a = 9\) и \(b = 2\) — цифры, отличные от нуля, значит, исходное число \(10 \cdot 9 + 2 = 92\).
Проверка: \(9 + 2 = 11\) — сумма цифр; \(92 - 29 = 63\) — число, записанное в обратном порядке, меньше исходного на 63.
2) Пусть \(a\) — число десятков исходного числа, а \(b\) — число его единиц.
Число десятков вдвое меньше числа единиц: \(b = 2a\).
Новое число на 36 больше исходного: \((10b + a) - (10a + b) = 36\).
\[\begin{cases} b = 2a, \\ (10b + a) - (10a + b) = 36. \end{cases}\]
Преобразуем второе уравнение: \(9b - 9a = 36\), то есть \(b - a = 4\).
Подставим \(b = 2a\): \(2a - a = 4\), откуда \(a = 4\). Тогда \(b = 2 \cdot 4 = 8\).
Числа \(a = 4\) и \(b = 8\) — цифры, отличные от нуля, значит, исходное число \(10 \cdot 4 + 8 = 48\).
Проверка: \(4 = 8 : 2\) — число десятков вдвое меньше числа единиц; \(84 - 48 = 36\) — новое число больше исходного на 36.
Ответ: 1) 92; 2) 48.
