Страница 68 номер 3.2.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Сумма цифр двузначного числа равна 10. Разность числа единиц и числа десятков этого числа в 23 раза меньше самого числа. Найти это число. 2) Сумма цифр двузначного числа на 8 больше разности числа десятков и числа единиц этого числа. Найти это число, если известно, что число десятков в нём в 2 раза больше числа единиц.
Двузначное число, у которого \(a\) десятков и \(b\) единиц, равно \(10a + b\), причём \(a\) и \(b\) — цифры, то есть целые числа от 0 до 9, и \(a \ne 0\).
1) Пусть \(a\) — число десятков искомого числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр равна 10: \(a + b = 10\).
Разность числа единиц и числа десятков в 23 раза меньше самого числа: \(23(b - a) = 10a + b\), то есть \(23b - 23a = 10a + b\), \(22b = 33a\), или \(2b = 3a\).
Из первого уравнения \(b = 10 - a\); подставим в уравнение \(2b = 3a\): \(2(10 - a) = 3a\), \(20 - 2a = 3a\), \(5a = 20\), \(a = 4\). Тогда \(b = 10 - 4 = 6\).
Числа \(a = 4\) и \(b = 6\) — цифры, и \(a \ne 0\), значит, искомое число \(10 \cdot 4 + 6 = 46\).
Проверка: \(4 + 6 = 10\) — сумма цифр; \(6 - 4 = 2\) и \(46 : 23 = 2\) — разность числа единиц и числа десятков в 23 раза меньше самого числа.
2) Пусть \(a\) — число десятков искомого числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр на 8 больше разности числа десятков и числа единиц: \(a + b = a - b + 8\).
Число десятков в 2 раза больше числа единиц: \(a = 2b\).
Слагаемое \(a\) есть в обеих частях первого уравнения, поэтому \(2b = 8\), откуда \(b = 4\). Тогда \(a = 2 \cdot 4 = 8\).
Числа \(a = 8\) и \(b = 4\) — цифры, и \(a \ne 0\), значит, искомое число \(10 \cdot 8 + 4 = 84\).
Проверка: \(8 + 4 = 12\) — сумма цифр; \(8 - 4 = 4\) — разность числа десятков и числа единиц, и \(12 - 4 = 8\); \(8 = 2 \cdot 4\) — десятков вдвое больше, чем единиц.
Ответ: 1) 46; 2) 84.
1) Сумма цифр двузначного числа равна 10. Разность числа единиц и числа десятков этого числа в 23 раза меньше самого числа. Найти это число. 2) Сумма цифр двузначного числа на 8 больше разности числа десятков и числа единиц этого числа. Найти это число, если известно, что число десятков в нём в 2 раза больше числа единиц.
Двузначное число, у которого \(a\) десятков и \(b\) единиц, равно \(10a + b\), причём \(a\) и \(b\) — цифры, то есть целые числа от 0 до 9, и \(a \ne 0\).
1) Пусть \(a\) — число десятков искомого числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр равна 10: \(a + b = 10\).
Разность числа единиц и числа десятков в 23 раза меньше самого числа: \(b - a = \frac{10a + b}{23}\), то есть \(23(b - a) = 10a + b\).
\[\begin{cases} a + b = 10, \\ 23(b - a) = 10a + b. \end{cases}\]
Преобразуем второе уравнение: \[\begin{aligned} 23b - 23a &= 10a + b, \\ 22b &= 33a, \\ 2b &= 3a. \end{aligned}\]
Из первого уравнения \(b = 10 - a\). Подставим это выражение в уравнение \(2b = 3a\): \(2(10 - a) = 3a\), то есть \(20 - 2a = 3a\), откуда \(5a = 20\) и \(a = 4\). Тогда \(b = 10 - 4 = 6\).
Числа \(a = 4\) и \(b = 6\) — цифры, и \(a \ne 0\), значит, искомое число \(10 \cdot 4 + 6 = 46\).
Проверка: \(4 + 6 = 10\) — сумма цифр; \(6 - 4 = 2\) и \(46 : 23 = 2\) — разность числа единиц и числа десятков в 23 раза меньше самого числа.
2) Пусть \(a\) — число десятков искомого числа, а \(b\) — число его единиц.
Сумма цифр на 8 больше разности числа десятков и числа единиц: \(a + b = (a - b) + 8\).
Число десятков в 2 раза больше числа единиц: \(a = 2b\).
\[\begin{cases} a + b = a - b + 8, \\ a = 2b. \end{cases}\]
В первом уравнении слагаемое \(a\) есть в обеих частях; перенесём \(-b\) и \(a\) из правой части в левую, изменив знаки: \(2b = 8\), откуда \(b = 4\). Тогда \(a = 2 \cdot 4 = 8\).
Числа \(a = 8\) и \(b = 4\) — цифры, и \(a \ne 0\), значит, искомое число \(10 \cdot 8 + 4 = 84\).
Проверка: \(8 + 4 = 12\) — сумма цифр; \(8 - 4 = 4\) — разность числа десятков и числа единиц, и \(12 - 4 = 8\); \(8 = 2 \cdot 4\) — десятков вдвое больше, чем единиц.
Ответ: 1) 46; 2) 84.
