Страница 67 номер 3.2.43, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Их встреча произошла через 3 ч. Если бы первый автомобиль выехал на 2 ч раньше второго, то их встреча произошла бы через 2 ч после выезда второго автомобиля. Найти скорости автомобилей. 2) Из посёлка в город выехал мопед, а из города в посёлок — автомобиль. Если бы они выехали одновременно, то встретились бы через 6 ч. Если бы мопед выехал на 4 ч раньше, то они встретились бы через 5 ч после того, как выехал автомобиль. Найти скорости мопеда и автомобиля, если расстояние от посёлка до города 480 км.
1)
Дано:
\(s = 450\) км — расстояние между пунктами
автомобили выехали одновременно навстречу друг другу, встреча через \(3\) ч
если первый выедет на \(2\) ч раньше, встреча через \(2\) ч после выезда второго
Найти: скорости автомобилей.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля, а \(y\) км/ч — скорость второго.
При одновременном выезде каждый был в пути 3 ч, и вместе они прошли всё расстояние: \(3x + 3y = 450\).
Во втором случае первый был в пути \(2 + 2 = 4\) (ч), а второй 2 ч: \(4x + 2y = 450\).
Разделим первое уравнение на 3, а второе на 2: \[\begin{cases} x + y = 150, \\ 2x + y = 225. \end{cases}\]
Умножим первое уравнение на \(-1\) и сложим уравнения почленно: \(x = 75\).
\(y = 150 - 75 = 75\).
Проверка: \(3 \cdot 75 + 3 \cdot 75 = 225 + 225 = 450\) (км) — при одновременном выезде; \(4 \cdot 75 + 2 \cdot 75 = 300 + 150 = 450\) (км) — когда первый автомобиль выехал на 2 ч раньше.
2)
Дано:
\(s = 480\) км — расстояние от посёлка до города
при одновременном выезде встреча через \(6\) ч
если мопед выедет на \(4\) ч раньше, встреча через \(5\) ч после выезда автомобиля
Найти: скорости мопеда и автомобиля.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость мопеда, а \(y\) км/ч — скорость автомобиля.
При одновременном выезде каждый был в пути 6 ч, и вместе они прошли всё расстояние: \(6x + 6y = 480\).
Во втором случае мопед был в пути \(4 + 5 = 9\) (ч), а автомобиль 5 ч: \(9x + 5y = 480\).
Разделим первое уравнение на 6: \(x + y = 80\), откуда \(y = 80 - x\).
Подставим во второе уравнение: \(9x + 5(80 - x) = 480\), \(9x + 400 - 5x = 480\), \(4x = 80\), \(x = 20\).
\(y = 80 - 20 = 60\).
Проверка: \(6 \cdot 20 + 6 \cdot 60 = 120 + 360 = 480\) (км); \(9 \cdot 20 + 5 \cdot 60 = 180 + 300 = 480\) (км).
Ответ: 1) скорость каждого из автомобилей 75 км/ч; 2) скорость мопеда 20 км/ч, скорость автомобиля 60 км/ч.
1) Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Их встреча произошла через 3 ч. Если бы первый автомобиль выехал на 2 ч раньше второго, то их встреча произошла бы через 2 ч после выезда второго автомобиля. Найти скорости автомобилей. 2) Из посёлка в город выехал мопед, а из города в посёлок — автомобиль. Если бы они выехали одновременно, то встретились бы через 6 ч. Если бы мопед выехал на 4 ч раньше, то они встретились бы через 5 ч после того, как выехал автомобиль. Найти скорости мопеда и автомобиля, если расстояние от посёлка до города 480 км.
1)
Дано:
\(s = 450\) км — расстояние между пунктами
автомобили выехали одновременно навстречу друг другу, встреча через \(3\) ч
если первый выедет на \(2\) ч раньше, встреча через \(2\) ч после выезда второго
Найти: скорости автомобилей.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля, а \(y\) км/ч — скорость второго.
При одновременном выезде до встречи каждый автомобиль был в пути 3 ч, и вместе они прошли всё расстояние: \(3x + 3y = 450\).
Во втором случае первый автомобиль до встречи был в пути \(2 + 2 = 4\) (ч), а второй 2 ч, и вместе они снова прошли 450 км: \(4x + 2y = 450\).
\[\begin{cases} 3x + 3y = 450, \\ 4x + 2y = 450. \end{cases}\]
Разделим первое уравнение на 3, а второе на 2: \[\begin{cases} x + y = 150, \\ 2x + y = 225. \end{cases}\]
Умножим первое уравнение на \(-1\) и сложим уравнения почленно: \(x = 75\). Тогда \(y = 150 - 75 = 75\).
Проверка: \(3 \cdot 75 + 3 \cdot 75 = 225 + 225 = 450\) (км) — при одновременном выезде; \(4 \cdot 75 + 2 \cdot 75 = 300 + 150 = 450\) (км) — когда первый автомобиль выехал на 2 ч раньше.
2)
Дано:
\(s = 480\) км — расстояние от посёлка до города
при одновременном выезде встреча через \(6\) ч
если мопед выедет на \(4\) ч раньше, встреча через \(5\) ч после выезда автомобиля
Найти: скорости мопеда и автомобиля.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость мопеда, а \(y\) км/ч — скорость автомобиля.
При одновременном выезде каждый был в пути 6 ч, и вместе они прошли всё расстояние: \(6x + 6y = 480\).
Во втором случае мопед до встречи был в пути \(4 + 5 = 9\) (ч), а автомобиль 5 ч: \(9x + 5y = 480\).
\[\begin{cases} 6x + 6y = 480, \\ 9x + 5y = 480. \end{cases}\]
Разделим первое уравнение на 6 и выразим \(y\) через \(x\): \(x + y = 80\), откуда \(y = 80 - x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\begin{aligned} 9x + 5(80 - x) &= 480, \\ 9x + 400 - 5x &= 480, \\ 4x &= 80, \\ x &= 20. \end{aligned}\]
Тогда \(y = 80 - 20 = 60\).
Проверка: \(6 \cdot 20 + 6 \cdot 60 = 120 + 360 = 480\) (км); \(9 \cdot 20 + 5 \cdot 60 = 180 + 300 = 480\) (км).
Ответ: 1) скорость каждого из автомобилей 75 км/ч; 2) скорость мопеда 20 км/ч, скорость автомобиля 60 км/ч.
