Страница 67 номер 3.2.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1)

Дано:
первый день: \(4\) ч, \(35\) км по течению и \(25\) км против течения
второй день: \(3\) ч, \(35\) км по течению и \(12\) км \(500\) м против течения

Найти: скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

\(12\) км \(500\) м \(= 12{,}5\) км.

Пусть \(m\) ч — время, за которое катер проходит 1 км по течению реки, а \(n\) ч — время, за которое он проходит 1 км против течения. Тогда за первый день катер был в пути \(35m + 25n\) ч, а за второй день \(35m + 12{,}5n\) ч.

\[\begin{cases} 35m + 25n = 4, \\ 35m + 12{,}5n = 3. \end{cases}\]

Решим систему способом сложения. Умножим второе уравнение на \(-1\) и сложим уравнения почленно: \(12{,}5n = 1\), откуда \(n = 0{,}08\).

Подставим \(n = 0{,}08\) в первое уравнение: \(35m + 25 \cdot 0{,}08 = 4\), то есть \(35m + 2 = 4\), откуда \(35m = 2\) и \(m = \frac{2}{35}\).

\(1 : \frac{2}{35} = \frac{35}{2} = 17{,}5\) (км/ч) — скорость катера по течению реки.

\(1 : 0{,}08 = 12{,}5\) (км/ч) — скорость катера против течения реки.

Скорость катера по течению равна сумме его скорости в стоячей воде и скорости течения, а скорость против течения — их разности. Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде, а \(y\) км/ч — скорость течения реки.

\[\begin{cases} x + y = 17{,}5, \\ x - y = 12{,}5. \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \(2x = 30\), откуда \(x = 15\). Тогда \(y = 17{,}5 - 15 = 2{,}5\).

Проверка: первый день — \(35 : 17{,}5 + 25 : 12{,}5 = 2 + 2 = 4\) (ч); второй день — \(35 : 17{,}5 + 12{,}5 : 12{,}5 = 2 + 1 = 3\) (ч).

2)

Дано:
первый день: \(5\) ч, \(30\) км по течению и \(27\) км против течения
второй день: \(3{,}5\) ч, \(22{,}5\) км по течению и \(18\) км против течения

Найти: скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \(m\) ч — время, за которое лодка проплывает 1 км по течению реки, а \(n\) ч — время, за которое она проплывает 1 км против течения.

\[\begin{cases} 30m + 27n = 5, \\ 22{,}5m + 18n = 3{,}5. \end{cases}\]

Решим систему способом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(n\) стали противоположными числами: \[\begin{cases} 60m + 54n = 10, \\ -67{,}5m - 54n = -10{,}5. \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \(-7{,}5m = -0{,}5\), откуда \(m = \frac{1}{15}\).

Подставим \(m = \frac{1}{15}\) в первое уравнение исходной системы: \(30 \cdot \frac{1}{15} + 27n = 5\), то есть \(2 + 27n = 5\), откуда \(27n = 3\) и \(n = \frac{1}{9}\).

\(1 : \frac{1}{15} = 15\) (км/ч) — скорость лодки по течению реки.

\(1 : \frac{1}{9} = 9\) (км/ч) — скорость лодки против течения реки.

Пусть \(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде, а \(y\) км/ч — скорость течения реки.

\[\begin{cases} x + y = 15, \\ x - y = 9. \end{cases}\]

Сложим уравнения почленно: \(2x = 24\), откуда \(x = 12\). Тогда \(y = 15 - 12 = 3\).

Проверка: первый день — \(30 : 15 + 27 : 9 = 2 + 3 = 5\) (ч); второй день — \(22{,}5 : 15 + 18 : 9 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5\) (ч).

Ответ: 1) скорость катера в стоячей воде 15 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч; 2) скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.