Страница 67 номер 3.2.41, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1)

Дано:
у Саши денег в \(7\) раз больше, чем у Лёши
Саша отдаёт Лёше \(54\) р.
после этого у Саши на \(30\) р. больше, чем у Лёши

Найти: сколько денег у каждого мальчика.

Решение:

Пусть \(x\) р. — деньги Саши, а \(y\) р. — деньги Лёши.

У Саши в 7 раз больше денег, чем у Лёши, поэтому \(x = 7y\).

После того как Саша отдал 54 р., у него осталось \(x - 54\) р., а у Лёши стало \(y + 54\) р., и первая величина на 30 р. больше второй: \(x - 54 = y + 54 + 30\).

\[\begin{cases} x = 7y, \\ x - 54 = y + 54 + 30. \end{cases}\]

Решим систему способом подстановки. Подставим во второе уравнение вместо \(x\) выражение \(7y\): \[\begin{aligned} 7y - 54 &= y + 84, \\ 6y &= 138, \\ y &= 23. \end{aligned}\]

Тогда \(x = 7 \cdot 23 = 161\).

Проверка: \(161 - 54 = 107\) (р.) — останется у Саши; \(23 + 54 = 77\) (р.) — станет у Лёши; \(107 - 77 = 30\) (р.) — у Саши остаётся больше на 30 р., как в условии.

2)

Дано:
у Гали на \(38\) марок больше, чем у Светы
Галя отдаёт Свете \(54\) марки
после этого у Гали марок в \(2\) раза меньше, чем у Светы

Найти: сколько марок у каждой девочки.

Решение:

Пусть \(x\) марок — у Гали, а \(y\) марок — у Светы.

У Гали на 38 марок больше, чем у Светы, поэтому \(x - y = 38\).

После того как Галя отдала 54 марки, у неё осталось \(x - 54\) марок, а у Светы стало \(y + 54\) марок, причём у Светы вдвое больше: \(y + 54 = 2(x - 54)\).

\[\begin{cases} x - y = 38, \\ y + 54 = 2(x - 54). \end{cases}\]

Из первого уравнения \(x = y + 38\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\begin{aligned} y + 54 &= 2(y + 38 - 54), \\ y + 54 &= 2y - 32, \\ y &= 86. \end{aligned}\]

Тогда \(x = 86 + 38 = 124\).

Проверка: \(124 - 54 = 70\) (марок) — останется у Гали; \(86 + 54 = 140\) (марок) — станет у Светы; \(140 : 70 = 2\) — у Гали марок вдвое меньше, чем у Светы.

Ответ: 1) у Саши 161 р., у Лёши 23 р.; 2) у Гали 124 марки, у Светы 86 марок.