Страница 66 номер 3.2.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему линейных уравнений (3.2.30—3.2.34): 1) \(\begin{cases}|x + y| = 2,\\ 3x + 2y = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}|x - y| = 1,\\ 2x - 3y = 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}|2x - y| = 3,\\ 5x + 6y = 1;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}|x + 2y| = 1,\\ 4x - 3y = 7.\end{cases}\)
Равенство \(|f| = c\) при \(c > 0\) означает, что \(f = c\) или \(f = -c\), поэтому каждая система распадается на две, и решением исходной системы служит каждая из двух найденных пар.
1) \(|x + y| = 2\), значит, \(x + y = 2\) или \(x + y = -2\).
Если \(x + y = 2\), то \(y = 2 - x\): \(3x + 2(2 - x) = 4\), \(x + 4 = 4\), \(x = 0\); тогда \(y = 2\).
Если \(x + y = -2\), то \(y = -2 - x\): \(3x + 2(-2 - x) = 4\), \(x - 4 = 4\), \(x = 8\); тогда \(y = -10\).
2) \(|x - y| = 1\), значит, \(x - y = 1\) или \(x - y = -1\).
Если \(x - y = 1\), то \(x = y + 1\): \(2(y + 1) - 3y = 0\), \(-y + 2 = 0\), \(y = 2\); тогда \(x = 3\).
Если \(x - y = -1\), то \(x = y - 1\): \(2(y - 1) - 3y = 0\), \(-y - 2 = 0\), \(y = -2\); тогда \(x = -3\).
3) \(|2x - y| = 3\), значит, \(2x - y = 3\) или \(2x - y = -3\).
Если \(2x - y = 3\), то \(y = 2x - 3\): \(5x + 6(2x - 3) = 1\), \(5x + 12x - 18 = 1\), \(17x = 19\), \(x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17}\); тогда \(y = 2 \cdot \frac{19}{17} - 3 = \frac{38 - 51}{17} = -\frac{13}{17}\).
Если \(2x - y = -3\), то \(y = 2x + 3\): \(5x + 6(2x + 3) = 1\), \(5x + 12x + 18 = 1\), \(17x = -17\), \(x = -1\); тогда \(y = 1\).
4) \(|x + 2y| = 1\), значит, \(x + 2y = 1\) или \(x + 2y = -1\).
Если \(x + 2y = 1\), то \(x = 1 - 2y\): \(4(1 - 2y) - 3y = 7\), \(4 - 8y - 3y = 7\), \(-11y = 3\), \(y = -\frac{3}{11}\); тогда \(x = 1 + \frac{6}{11} = 1\frac{6}{11}\).
Если \(x + 2y = -1\), то \(x = -1 - 2y\): \(4(-1 - 2y) - 3y = 7\), \(-4 - 11y = 7\), \(-11y = 11\), \(y = -1\); тогда \(x = 1\).
Ответ: 1) \((0;\ 2)\), \((8;\ -10)\); 2) \((3;\ 2)\), \((-3;\ -2)\); 3) \(\left(1\frac{2}{17};\ -\frac{13}{17}\right)\), \((-1;\ 1)\); 4) \(\left(1\frac{6}{11};\ -\frac{3}{11}\right)\), \((1;\ -1)\).
Решить систему линейных уравнений (3.2.30—3.2.34): 1) \(\begin{cases}|x + y| = 2,\\ 3x + 2y = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}|x - y| = 1,\\ 2x - 3y = 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}|2x - y| = 3,\\ 5x + 6y = 1;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}|x + 2y| = 1,\\ 4x - 3y = 7.\end{cases}\)
Модуль числа неотрицателен, и равенство \(|f| = c\) при \(c > 0\) означает, что \(f = c\) или \(f = -c\). Поэтому каждая система распадается на две системы линейных уравнений, и решением исходной системы служит каждое из полученных решений.
1) Равенство \(|x + y| = 2\) означает, что \(x + y = 2\) или \(x + y = -2\).
Если \(x + y = 2\), то \(y = 2 - x\) и второе уравнение даёт \(3x + 2(2 - x) = 4\), \(x + 4 = 4\), \(x = 0\); тогда \(y = 2\).
Если \(x + y = -2\), то \(y = -2 - x\) и второе уравнение даёт \(3x + 2(-2 - x) = 4\), \(x - 4 = 4\), \(x = 8\); тогда \(y = -10\).
2) Равенство \(|x - y| = 1\) означает, что \(x - y = 1\) или \(x - y = -1\).
Если \(x - y = 1\), то \(x = y + 1\) и второе уравнение даёт \(2(y + 1) - 3y = 0\), \(-y + 2 = 0\), \(y = 2\); тогда \(x = 3\).
Если \(x - y = -1\), то \(x = y - 1\) и второе уравнение даёт \(2(y - 1) - 3y = 0\), \(-y - 2 = 0\), \(y = -2\); тогда \(x = -3\).
3) Равенство \(|2x - y| = 3\) означает, что \(2x - y = 3\) или \(2x - y = -3\).
Если \(2x - y = 3\), то \(y = 2x - 3\) и второе уравнение даёт \(5x + 6(2x - 3) = 1\), \(5x + 12x - 18 = 1\), \(17x = 19\), \(x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17}\); тогда \(y = 2 \cdot \frac{19}{17} - 3 = \frac{38 - 51}{17} = -\frac{13}{17}\).
Если \(2x - y = -3\), то \(y = 2x + 3\) и второе уравнение даёт \(5x + 6(2x + 3) = 1\), \(5x + 12x + 18 = 1\), \(17x = -17\), \(x = -1\); тогда \(y = 1\).
4) Равенство \(|x + 2y| = 1\) означает, что \(x + 2y = 1\) или \(x + 2y = -1\).
Если \(x + 2y = 1\), то \(x = 1 - 2y\) и второе уравнение даёт \(4(1 - 2y) - 3y = 7\), \(4 - 8y - 3y = 7\), \(-11y = 3\), \(y = -\frac{3}{11}\); тогда \(x = 1 + \frac{6}{11} = 1\frac{6}{11}\).
Если \(x + 2y = -1\), то \(x = -1 - 2y\) и второе уравнение даёт \(4(-1 - 2y) - 3y = 7\), \(-4 - 11y = 7\), \(-11y = 11\), \(y = -1\); тогда \(x = 1\).
Ответ: 1) \((0;\ 2)\), \((8;\ -10)\); 2) \((3;\ 2)\), \((-3;\ -2)\); 3) \(\left(1\frac{2}{17};\ -\frac{13}{17}\right)\), \((-1;\ 1)\); 4) \(\left(1\frac{6}{11};\ -\frac{3}{11}\right)\), \((1;\ -1)\).
