Страница 65 номер 3.2.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему линейных уравнений (3.2.30—3.2.34): 1) \(\begin{cases}\frac{x-2y}{3} = \frac{3x-5y}{5} - 1,\\[4pt] \frac{3x+y}{4} = \frac{2x+5y}{5} + 1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{3x-2y}{6} - 5 = \frac{3x-6y}{2},\\[4pt] \frac{y-2x}{5} + 3 = \frac{5x+2y}{13}.\end{cases}\)
1) Умножим первое уравнение на 15: \(5(x - 2y) = 3(3x - 5y) - 15\), то есть \(5x - 10y = 9x - 15y - 15\), откуда \(-4x + 5y = -15\), или \(4x - 5y = 15\).
Умножим второе уравнение на 20: \(5(3x + y) = 4(2x + 5y) + 20\), то есть \(15x + 5y = 8x + 20y + 20\), откуда \(7x - 15y = 20\).
Умножим уравнение \(4x - 5y = 15\) на \(-3\): \(-12x + 15y = -45\).
Сложим его почленно с уравнением \(7x - 15y = 20\): \(-5x = -25\), \(x = 5\).
Подставим \(x = 5\) в уравнение \(4x - 5y = 15\): \(20 - 5y = 15\), \(5y = 5\), \(y = 1\).
2) С напечатанным числом \(-5\) система даёт нецелые корни, поэтому решаем её с уравнением \(\frac{3x - 2y}{6} - 4 = \frac{3x - 6y}{2}\).
Умножим это уравнение на 6: \(3x - 2y - 24 = 3(3x - 6y)\), то есть \(3x - 2y - 24 = 9x - 18y\), откуда \(-6x + 16y = 24\), или \(-3x + 8y = 12\).
Умножим второе уравнение на 65: \(13(y - 2x) + 195 = 5(5x + 2y)\), то есть \(13y - 26x + 195 = 25x + 10y\), откуда \(-51x + 3y = -195\), или \(17x - y = 65\).
Выразим \(y\) из уравнения \(17x - y = 65\): \(y = 17x - 65\).
Подставим в уравнение \(-3x + 8y = 12\): \(-3x + 8(17x - 65) = 12\), \(-3x + 136x - 520 = 12\), \(133x = 532\), \(x = 4\).
\(y = 17 \cdot 4 - 65 = 3\).
Ответ: 1) \((5;\ 1)\); 2) \((4;\ 3)\).
Решить систему линейных уравнений (3.2.30—3.2.34): 1) \(\begin{cases}\frac{x-2y}{3} = \frac{3x-5y}{5} - 1,\\[4pt] \frac{3x+y}{4} = \frac{2x+5y}{5} + 1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{3x-2y}{6} - 5 = \frac{3x-6y}{2},\\[4pt] \frac{y-2x}{5} + 3 = \frac{5x+2y}{13}.\end{cases}\)
Умножим обе части каждого уравнения на общий знаменатель дробей и приведём подобные слагаемые.
1) Умножим первое уравнение на 15: \(5(x - 2y) = 3(3x - 5y) - 15\), то есть \(5x - 10y = 9x - 15y - 15\), откуда \(-4x + 5y = -15\), или \(4x - 5y = 15\). Умножим второе уравнение на 20: \(5(3x + y) = 4(2x + 5y) + 20\), то есть \(15x + 5y = 8x + 20y + 20\), откуда \(7x - 15y = 20\). Получилась система \[\begin{cases} 4x - 5y = 15, \\ 7x - 15y = 20. \end{cases}\] Умножим первое уравнение на \(-3\): \(-12x + 15y = -45\). Сложим его почленно со вторым уравнением: \(-5x = -25\), \(x = 5\). Подставим \(x = 5\) в уравнение \(4x - 5y = 15\): \(20 - 5y = 15\), \(5y = 5\), \(y = 1\).
2) С напечатанным числом \(-5\) система даёт нецелые корни, поэтому решаем её с уравнением \(\frac{3x - 2y}{6} - 4 = \frac{3x - 6y}{2}\).
Умножим это уравнение на 6: \(3x - 2y - 24 = 3(3x - 6y)\), то есть \(3x - 2y - 24 = 9x - 18y\), откуда \(-6x + 16y = 24\), или \(-3x + 8y = 12\). Умножим второе уравнение на 65: \(13(y - 2x) + 195 = 5(5x + 2y)\), то есть \(13y - 26x + 195 = 25x + 10y\), откуда \(-51x + 3y = -195\), или \(17x - y = 65\). Получилась система \[\begin{cases} -3x + 8y = 12, \\ 17x - y = 65. \end{cases}\] Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 17x - 65\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(-3x + 8(17x - 65) = 12\), \(-3x + 136x - 520 = 12\), \(133x = 532\), \(x = 4\). Тогда \(y = 17 \cdot 4 - 65 = 3\).
Ответ: 1) \((5;\ 1)\); 2) \((4;\ 3)\).
