Страница 64 номер 3.2.24, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить графически систему уравнений: 1) \(\begin{cases}y = 2x - 1,\\ y = -x + 5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}y = -x - 1,\\ y = 2x + 5;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y = 3x,\\ x - y = 4;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y = -2x,\\ x + y = -2;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}x = 2y,\\ 2x + y = -5;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}x = -3y,\\ 2x - y = 7;\end{cases}\) 7) \(\begin{cases}3x + 2y = 4,\\ x - 2y = -4;\end{cases}\) 8) \(\begin{cases}-x + 3y = 3,\\ x - 2y = -3;\end{cases}\) 9) \(\begin{cases}2x - y = 3,\\ 4x - 2y = 9;\end{cases}\) 10) \(\begin{cases}3x + y = 4,\\ -6x - 2y = 2.\end{cases}\)
График каждого уравнения — прямая; проведём её через две точки. Точка пересечения прямых и есть решение системы; у параллельных прямых общей точки нет, и решений у системы нет.
1) \(y = 2x - 1\): точки \((0;\ -1)\) и \((3;\ 5)\); \(y = -x + 5\): точки \((0;\ 5)\) и \((5;\ 0)\). Прямые пересекаются в точке \((2;\ 3)\); проверка: \(2 \cdot 2 - 1 = 3\) и \(-2 + 5 = 3\).
2) \(y = -x - 1\): точки \((0;\ -1)\) и \((3;\ -4)\); \(y = 2x + 5\): точки \((0;\ 5)\) и \((-3;\ -1)\). Прямые пересекаются в точке \((-2;\ 1)\); проверка: \(-(-2) - 1 = 1\) и \(2 \cdot (-2) + 5 = 1\).
3) \(y = 3x\): точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 3)\); из \(x - y = 4\) получаем \(y = x - 4\): точки \((0;\ -4)\) и \((4;\ 0)\). Прямые пересекаются в точке \((-2;\ -6)\); проверка: \(3 \cdot (-2) = -6\) и \(-2 - (-6) = 4\).
4) \(y = -2x\): точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ -2)\); из \(x + y = -2\) получаем \(y = -x - 2\): точки \((0;\ -2)\) и \((-2;\ 0)\). Прямые пересекаются в точке \((2;\ -4)\); проверка: \(-2 \cdot 2 = -4\) и \(2 + (-4) = -2\).
5) \(x = 2y\) равносильно \(y = 0{,}5x\): точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 1)\); из \(2x + y = -5\) получаем \(y = -2x - 5\): точки \((0;\ -5)\) и \((-2;\ -1)\). Прямые пересекаются в точке \((-2;\ -1)\); проверка: \(-2 = 2 \cdot (-1)\) и \(2 \cdot (-2) + (-1) = -5\).
6) \(x = -3y\) равносильно \(y = -\frac{x}{3}\): точки \((0;\ 0)\) и \((-3;\ 1)\); из \(2x - y = 7\) получаем \(y = 2x - 7\): точки \((2;\ -3)\) и \((4;\ 1)\). Прямые пересекаются в точке \((3;\ -1)\); проверка: \(3 = -3 \cdot (-1)\) и \(2 \cdot 3 - (-1) = 7\).
7) Из \(3x + 2y = 4\) получаем \(y = -1{,}5x + 2\): точки \((-2;\ 5)\) и \((2;\ -1)\); из \(x - 2y = -4\) получаем \(y = 0{,}5x + 2\): точки \((-4;\ 0)\) и \((4;\ 4)\). Прямые пересекаются в точке \((0;\ 2)\); проверка: \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4\) и \(0 - 2 \cdot 2 = -4\).
8) Из \(-x + 3y = 3\) получаем \(y = \frac{x + 3}{3}\): точки \((0;\ 1)\) и \((3;\ 2)\); из \(x - 2y = -3\) получаем \(y = \frac{x + 3}{2}\): точки \((1;\ 2)\) и \((3;\ 3)\). Прямые пересекаются в точке \((-3;\ 0)\); проверка: \(-(-3) + 3 \cdot 0 = 3\) и \(-3 - 2 \cdot 0 = -3\).
9) Из \(2x - y = 3\) получаем \(y = 2x - 3\): точки \((0;\ -3)\) и \((2;\ 1)\); из \(4x - 2y = 9\) получаем \(y = 2x - 4{,}5\): точки \((0;\ -4{,}5)\) и \((2;\ -0{,}5)\). Угловые коэффициенты прямых равны (\(k_1 = k_2 = 2\)), а ось \(y\) они пересекают в разных точках, поэтому прямые параллельны и общей точки не имеют.
10) Из \(3x + y = 4\) получаем \(y = -3x + 4\): точки \((0;\ 4)\) и \((2;\ -2)\); из \(-6x - 2y = 2\) получаем \(y = -3x - 1\): точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ -4)\). Угловые коэффициенты прямых равны (\(k_1 = k_2 = -3\)), а ось \(y\) они пересекают в разных точках, поэтому прямые параллельны и общей точки не имеют.
Проведём для каждой системы обе прямые.
Ответ: 1) \((2;\ 3)\); 2) \((-2;\ 1)\); 3) \((-2;\ -6)\); 4) \((2;\ -4)\); 5) \((-2;\ -1)\); 6) \((3;\ -1)\); 7) \((0;\ 2)\); 8) \((-3;\ 0)\); 9) решений нет; 10) решений нет.
Решить графически систему уравнений: 1) \(\begin{cases}y = 2x - 1,\\ y = -x + 5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}y = -x - 1,\\ y = 2x + 5;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y = 3x,\\ x - y = 4;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y = -2x,\\ x + y = -2;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}x = 2y,\\ 2x + y = -5;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}x = -3y,\\ 2x - y = 7;\end{cases}\) 7) \(\begin{cases}3x + 2y = 4,\\ x - 2y = -4;\end{cases}\) 8) \(\begin{cases}-x + 3y = 3,\\ x - 2y = -3;\end{cases}\) 9) \(\begin{cases}2x - y = 3,\\ 4x - 2y = 9;\end{cases}\) 10) \(\begin{cases}3x + y = 4,\\ -6x - 2y = 2.\end{cases}\)
Графиком каждого уравнения системы служит прямая; каждую прямую проведём через две её точки. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы. Если же прямые параллельны, общей точки у них нет и система решений не имеет.
1) Прямая \(y = 2x - 1\) проходит через точки \((0;\ -1)\) и \((3;\ 5)\), прямая \(y = -x + 5\) — через точки \((0;\ 5)\) и \((5;\ 0)\). Они пересекаются в точке \((2;\ 3)\). Проверка: \(2 \cdot 2 - 1 = 3\) и \(-2 + 5 = 3\).
2) Прямая \(y = -x - 1\) проходит через точки \((0;\ -1)\) и \((3;\ -4)\), прямая \(y = 2x + 5\) — через точки \((0;\ 5)\) и \((-3;\ -1)\). Они пересекаются в точке \((-2;\ 1)\). Проверка: \(-(-2) - 1 = 1\) и \(2 \cdot (-2) + 5 = 1\).
3) Прямая \(y = 3x\) проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 3)\). Из уравнения \(x - y = 4\) получаем \(y = x - 4\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -4)\) и \((4;\ 0)\). Прямые пересекаются в точке \((-2;\ -6)\). Проверка: \(3 \cdot (-2) = -6\) и \(-2 - (-6) = 4\).
4) Прямая \(y = -2x\) проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ -2)\). Из уравнения \(x + y = -2\) получаем \(y = -x - 2\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -2)\) и \((-2;\ 0)\). Прямые пересекаются в точке \((2;\ -4)\). Проверка: \(-2 \cdot 2 = -4\) и \(2 + (-4) = -2\).
5) Уравнение \(x = 2y\) равносильно уравнению \(y = 0{,}5x\); эта прямая проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 1)\). Из уравнения \(2x + y = -5\) получаем \(y = -2x - 5\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -5)\) и \((-2;\ -1)\). Прямые пересекаются в точке \((-2;\ -1)\). Проверка: \(-2 = 2 \cdot (-1)\) и \(2 \cdot (-2) + (-1) = -5\).
6) Уравнение \(x = -3y\) равносильно уравнению \(y = -\frac{x}{3}\); эта прямая проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((-3;\ 1)\). Из уравнения \(2x - y = 7\) получаем \(y = 2x - 7\); эта прямая проходит через точки \((2;\ -3)\) и \((4;\ 1)\). Прямые пересекаются в точке \((3;\ -1)\). Проверка: \(3 = -3 \cdot (-1)\) и \(2 \cdot 3 - (-1) = 7\).
7) Из уравнения \(3x + 2y = 4\) получаем \(y = -1{,}5x + 2\); эта прямая проходит через точки \((-2;\ 5)\) и \((2;\ -1)\). Из уравнения \(x - 2y = -4\) получаем \(y = 0{,}5x + 2\); эта прямая проходит через точки \((-4;\ 0)\) и \((4;\ 4)\). Прямые пересекаются в точке \((0;\ 2)\). Проверка: \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4\) и \(0 - 2 \cdot 2 = -4\).
8) Из уравнения \(-x + 3y = 3\) получаем \(y = \frac{x + 3}{3}\); эта прямая проходит через точки \((0;\ 1)\) и \((3;\ 2)\). Из уравнения \(x - 2y = -3\) получаем \(y = \frac{x + 3}{2}\); эта прямая проходит через точки \((1;\ 2)\) и \((3;\ 3)\). Прямые пересекаются в точке \((-3;\ 0)\). Проверка: \(-(-3) + 3 \cdot 0 = 3\) и \(-3 - 2 \cdot 0 = -3\).
9) Из уравнения \(2x - y = 3\) получаем \(y = 2x - 3\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -3)\) и \((2;\ 1)\). Из уравнения \(4x - 2y = 9\) получаем \(y = 2x - 4{,}5\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -4{,}5)\) и \((2;\ -0{,}5)\). Угловые коэффициенты прямых равны (\(k_1 = k_2 = 2\)), а с осью \(y\) прямые пересекаются в разных точках, поэтому прямые параллельны и общей точки не имеют.
10) Из уравнения \(3x + y = 4\) получаем \(y = -3x + 4\); эта прямая проходит через точки \((0;\ 4)\) и \((2;\ -2)\). Из уравнения \(-6x - 2y = 2\) получаем \(y = -3x - 1\); эта прямая проходит через точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ -4)\). Угловые коэффициенты прямых равны (\(k_1 = k_2 = -3\)), а с осью \(y\) прямые пересекаются в разных точках, поэтому прямые параллельны и общей точки не имеют.
Проведём для каждой системы обе прямые.
Ответ: 1) \((2;\ 3)\); 2) \((-2;\ 1)\); 3) \((-2;\ -6)\); 4) \((2;\ -4)\); 5) \((-2;\ -1)\); 6) \((3;\ -1)\); 7) \((0;\ 2)\); 8) \((-3;\ 0)\); 9) решений нет; 10) решений нет.
