Страница 64 номер 3.2.22, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Не выполняя построений, найти координаты точек пересечения графиков уравнений: 1) \(3y+x=6\) и \(2x+y=2\); 2) \(2x-y=-9\) и \(4y+3x=25\); 3) \(-4x+3y=7\) и \(5x-2y=0\); 4) \(-2x-3y=-6\) и \(4x+3y=0\).
Координаты общей точки двух прямых обращают в верное равенство оба уравнения, то есть служат решением системы этих уравнений.
1) Выразим \(y\) из уравнения \(2x + y = 2\): \(y = 2 - 2x\).
Подставим в уравнение \(3y + x = 6\): \(3(2 - 2x) + x = 6\), \(6 - 6x + x = 6\), \(-5x = 0\), \(x = 0\).
\(y = 2 - 2 \cdot 0 = 2\) — графики пересекаются в точке \((0;\ 2)\).
2) Выразим \(y\) из уравнения \(2x - y = -9\): \(y = 2x + 9\).
Подставим в уравнение \(4y + 3x = 25\): \(4(2x + 9) + 3x = 25\), \(8x + 36 + 3x = 25\), \(11x = -11\), \(x = -1\).
\(y = 2 \cdot (-1) + 9 = 7\) — графики пересекаются в точке \((-1;\ 7)\).
3) Умножим уравнение \(-4x + 3y = 7\) на 2, а уравнение \(5x - 2y = 0\) на 3: \(-8x + 6y = 14\) и \(15x - 6y = 0\).
Сложим их почленно: \(7x = 14\), \(x = 2\).
Подставим \(x = 2\) в уравнение \(5x - 2y = 0\): \(10 - 2y = 0\), \(y = 5\) — графики пересекаются в точке \((2;\ 5)\).
4) Коэффициенты при \(y\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(2x = -6\), \(x = -3\).
Подставим \(x = -3\) в уравнение \(4x + 3y = 0\): \(-12 + 3y = 0\), \(3y = 12\), \(y = 4\) — графики пересекаются в точке \((-3;\ 4)\).
Ответ: 1) \((0;\ 2)\); 2) \((-1;\ 7)\); 3) \((2;\ 5)\); 4) \((-3;\ 4)\).
Не выполняя построений, найти координаты точек пересечения графиков уравнений: 1) \(3y+x=6\) и \(2x+y=2\); 2) \(2x-y=-9\) и \(4y+3x=25\); 3) \(-4x+3y=7\) и \(5x-2y=0\); 4) \(-2x-3y=-6\) и \(4x+3y=0\).
Общая точка двух прямых принадлежит каждой из них, поэтому её координаты обращают в верное равенство и первое уравнение, и второе. Значит, эти координаты являются решением системы данных уравнений.
1) Решим систему \[\begin{cases} 3y + x = 6, \\ 2x + y = 2. \end{cases}\] Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 2 - 2x\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(3(2 - 2x) + x = 6\), \(6 - 6x + x = 6\), \(-5x = 0\), \(x = 0\). Тогда \(y = 2 - 2 \cdot 0 = 2\). Графики пересекаются в точке \((0;\ 2)\).
2) Решим систему \[\begin{cases} 2x - y = -9, \\ 4y + 3x = 25. \end{cases}\] Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 2x + 9\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(4(2x + 9) + 3x = 25\), \(8x + 36 + 3x = 25\), \(11x = -11\), \(x = -1\). Тогда \(y = 2 \cdot (-1) + 9 = 7\). Графики пересекаются в точке \((-1;\ 7)\).
3) Решим систему \[\begin{cases} -4x + 3y = 7, \\ 5x - 2y = 0. \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: \(-8x + 6y = 14\) и \(15x - 6y = 0\). Сложим их почленно: \(7x = 14\), \(x = 2\). Подставим \(x = 2\) в уравнение \(5x - 2y = 0\): \(10 - 2y = 0\), \(y = 5\). Графики пересекаются в точке \((2;\ 5)\).
4) Решим систему \[\begin{cases} -2x - 3y = -6, \\ 4x + 3y = 0. \end{cases}\] Коэффициенты при \(y\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(2x = -6\), \(x = -3\). Подставим \(x = -3\) в уравнение \(4x + 3y = 0\): \(-12 + 3y = 0\), \(3y = 12\), \(y = 4\). Графики пересекаются в точке \((-3;\ 4)\).
Ответ: 1) \((0;\ 2)\); 2) \((-1;\ 7)\); 3) \((2;\ 5)\); 4) \((-3;\ 4)\).
