Страница 63 номер 3.2.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему уравнений (3.2.18—3.2.20): 1) \(\begin{cases}\frac{x+y}{7} - 2x = 3,\\[4pt] \frac{x-y}{3} + 3x = -5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x-y}{7} + y = 3,\\[4pt] \frac{y-x}{7} + 3y = 13;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{3x-2y}{3} - 2y = 9,\\[4pt] \frac{y-3x}{2} - 3y = 6;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{4x-3y}{13} + 3x = 8,\\[4pt] \frac{3y-2x}{11} + 2x = 2.\end{cases}\)
1) Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3: \[\begin{cases} x + y - 14x = 21, \\ x - y + 9x = -15. \end{cases}\]
Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} -13x + y = 21, \\ 10x - y = -15. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(-3x = 6\), \(x = -2\).
Подставим \(x = -2\) в уравнение \(-13x + y = 21\): \(26 + y = 21\), \(y = -5\).
2) Умножим на 7 каждое уравнение: \[\begin{cases} x - y + 7y = 21, \\ y - x + 21y = 91. \end{cases}\]
Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} x + 6y = 21, \\ -x + 22y = 91. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(28y = 112\), \(y = 4\).
Подставим \(y = 4\) в уравнение \(x + 6y = 21\): \(x + 24 = 21\), \(x = -3\).
3) Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: \[\begin{cases} 3x - 2y - 6y = 27, \\ y - 3x - 6y = 12. \end{cases}\]
Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} 3x - 8y = 27, \\ -3x - 5y = 12. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(-13y = 39\), \(y = -3\).
Подставим \(y = -3\) в уравнение \(3x - 8y = 27\): \(3x + 24 = 27\), \(3x = 3\), \(x = 1\).
4) Умножим первое уравнение на 13, а второе на 11: \[\begin{cases} 4x - 3y + 39x = 104, \\ 3y - 2x + 22x = 22. \end{cases}\]
Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} 43x - 3y = 104, \\ 20x + 3y = 22. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(63x = 126\), \(x = 2\).
Подставим \(x = 2\) в уравнение \(20x + 3y = 22\): \(40 + 3y = 22\), \(3y = -18\), \(y = -6\).
Ответ: 1) \((-2;\ -5)\); 2) \((-3;\ 4)\); 3) \((1;\ -3)\); 4) \((2;\ -6)\).
Решить систему уравнений (3.2.18—3.2.20): 1) \(\begin{cases}\frac{x+y}{7} - 2x = 3,\\[4pt] \frac{x-y}{3} + 3x = -5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x-y}{7} + y = 3,\\[4pt] \frac{y-x}{7} + 3y = 13;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{3x-2y}{3} - 2y = 9,\\[4pt] \frac{y-3x}{2} - 3y = 6;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{4x-3y}{13} + 3x = 8,\\[4pt] \frac{3y-2x}{11} + 2x = 2.\end{cases}\)
Умножив обе части уравнения на знаменатель дроби, получим уравнение, равносильное данному. После приведения подобных слагаемых система становится линейной, и её решаем способом сложения.
1) Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3: \[\begin{cases} x + y - 14x = 21, \\ x - y + 9x = -15. \end{cases}\] Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} -13x + y = 21, \\ 10x - y = -15. \end{cases}\] Коэффициенты при \(y\) противоположны, поэтому сложим почленно левые и правые части уравнений: \(-3x = 6\), \(x = -2\). Подставим \(x = -2\) в уравнение \(-13x + y = 21\): \(26 + y = 21\), \(y = -5\).
2) Умножим на 7 каждое уравнение: \[\begin{cases} x - y + 7y = 21, \\ y - x + 21y = 91. \end{cases}\] Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} x + 6y = 21, \\ -x + 22y = 91. \end{cases}\] Коэффициенты при \(x\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(28y = 112\), \(y = 4\). Подставим \(y = 4\) в уравнение \(x + 6y = 21\): \(x + 24 = 21\), \(x = -3\).
3) Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: \[\begin{cases} 3x - 2y - 6y = 27, \\ y - 3x - 6y = 12. \end{cases}\] Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} 3x - 8y = 27, \\ -3x - 5y = 12. \end{cases}\] Сложим уравнения почленно: \(-13y = 39\), \(y = -3\). Подставим \(y = -3\) в уравнение \(3x - 8y = 27\): \(3x + 24 = 27\), \(3x = 3\), \(x = 1\).
4) Умножим первое уравнение на 13, а второе на 11: \[\begin{cases} 4x - 3y + 39x = 104, \\ 3y - 2x + 22x = 22. \end{cases}\] Приведём подобные слагаемые: \[\begin{cases} 43x - 3y = 104, \\ 20x + 3y = 22. \end{cases}\] Коэффициенты при \(y\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(63x = 126\), \(x = 2\). Подставим \(x = 2\) в уравнение \(20x + 3y = 22\): \(40 + 3y = 22\), \(3y = -18\), \(y = -6\).
Ответ: 1) \((-2;\ -5)\); 2) \((-3;\ 4)\); 3) \((1;\ -3)\); 4) \((2;\ -6)\).
