Страница 63 номер 3.2.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему линейных уравнений (3.2.16—3.2.17): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -1,\\[4pt] \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 7;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = -13,\\[4pt] \frac{x}{6} - \frac{y}{5} = 4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{2x}{7} - \frac{3y}{5} = 28,\\[4pt] \frac{x}{5} - \frac{y}{6} = 12;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{3x}{5} - \frac{2y}{3} = -20,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = -7.\end{cases}\)
1) Умножим первое уравнение на 6, второе — на 15: \[\begin{cases} 2x - 3y = -6, \\ 3x + 5y = 105 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 3, второе — на \(-2\); коэффициенты при \(x\) станут противоположными. Сложим полученные уравнения почленно: \[\begin{aligned} (6x - 9y) + (-6x - 10y) &= -18 + (-210), \\ -19y &= -228, \\ y &= 12. \end{aligned}\] Подставим \(y = 12\) в уравнение \(2x - 3y = -6\): \[\begin{aligned} 2x - 36 &= -6, \\ 2x &= 30, \\ x &= 15. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((15;\ 12)\).
2) Умножим первое уравнение на 12, второе — на 30: \[\begin{cases} 3x + 4y = -156, \\ 5x - 6y = 120 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 3, второе — на 2; коэффициенты при \(y\) станут противоположными. Сложим полученные уравнения почленно: \[\begin{aligned} (9x + 12y) + (10x - 12y) &= -468 + 240, \\ 19x &= -228, \\ x &= -12. \end{aligned}\] Подставим \(x = -12\) в уравнение \(3x + 4y = -156\): \[\begin{aligned} -36 + 4y &= -156, \\ 4y &= -120, \\ y &= -30. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-12;\ -30)\).
3) Умножим первое уравнение на 35, второе — на 30: \[\begin{cases} 10x - 21y = 980, \\ 6x - 5y = 360 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 3, второе — на \(-5\); коэффициенты при \(x\) станут противоположными. Сложим полученные уравнения почленно: \[\begin{aligned} (30x - 63y) + (-30x + 25y) &= 2940 + (-1800), \\ -38y &= 1140, \\ y &= -30. \end{aligned}\] Подставим \(y = -30\) в уравнение \(6x - 5y = 360\): \[\begin{aligned} 6x + 150 &= 360, \\ 6x &= 210, \\ x &= 35. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((35;\ -30)\).
4) Умножим первое уравнение на 15, второе — на 12: \[\begin{cases} 9x - 10y = -300, \\ 3x - 2y = -84 \end{cases}\] Умножим второе уравнение на \(-5\); коэффициенты при \(y\) станут противоположными. Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (9x - 10y) + (-15x + 10y) &= -300 + 420, \\ -6x &= 120, \\ x &= -20. \end{aligned}\] Подставим \(x = -20\) в уравнение \(3x - 2y = -84\): \[\begin{aligned} -60 - 2y &= -84, \\ -2y &= -24, \\ y &= 12. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-20;\ 12)\).
Ответ: 1) \((15;\ 12)\); 2) \((-12;\ -30)\); 3) \((35;\ -30)\); 4) \((-20;\ 12)\).
Решить систему линейных уравнений (3.2.16—3.2.17): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -1,\\[4pt] \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 7;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = -13,\\[4pt] \frac{x}{6} - \frac{y}{5} = 4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{2x}{7} - \frac{3y}{5} = 28,\\[4pt] \frac{x}{5} - \frac{y}{6} = 12;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{3x}{5} - \frac{2y}{3} = -20,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = -7.\end{cases}\)
Умножим обе части каждого уравнения на общий знаменатель его дробей — коэффициенты станут целыми, и получится система, равносильная данной.
1) Умножим обе части первого уравнения на 6, а обе части второго — на 15: \[\begin{cases} 2x - 3y = -6, \\ 3x + 5y = 105 \end{cases}\] Умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на \(-2\). Получим уравнения \(6x - 9y = -18\) и \(-6x - 10y = -210\), в которых коэффициенты при \(x\) противоположны. Сложим их почленно: \[\begin{aligned} (6x - 9y) + (-6x - 10y) &= -18 + (-210), \\ -19y &= -228, \\ y &= 12. \end{aligned}\] Подставим \(y = 12\) в уравнение \(2x - 3y = -6\): \[\begin{aligned} 2x - 36 &= -6, \\ 2x &= 30, \\ x &= 15. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((15;\ 12)\).
2) Умножим обе части первого уравнения на 12, а обе части второго — на 30: \[\begin{cases} 3x + 4y = -156, \\ 5x - 6y = 120 \end{cases}\] Умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 2. Получим уравнения \(9x + 12y = -468\) и \(10x - 12y = 240\), в которых коэффициенты при \(y\) противоположны. Сложим их почленно: \[\begin{aligned} (9x + 12y) + (10x - 12y) &= -468 + 240, \\ 19x &= -228, \\ x &= -12. \end{aligned}\] Подставим \(x = -12\) в уравнение \(3x + 4y = -156\): \[\begin{aligned} -36 + 4y &= -156, \\ 4y &= -120, \\ y &= -30. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-12;\ -30)\).
3) Умножим обе части первого уравнения на 35, а обе части второго — на 30: \[\begin{cases} 10x - 21y = 980, \\ 6x - 5y = 360 \end{cases}\] Умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на \(-5\). Получим уравнения \(30x - 63y = 2940\) и \(-30x + 25y = -1800\), в которых коэффициенты при \(x\) противоположны. Сложим их почленно: \[\begin{aligned} (30x - 63y) + (-30x + 25y) &= 2940 + (-1800), \\ -38y &= 1140, \\ y &= -30. \end{aligned}\] Подставим \(y = -30\) в уравнение \(6x - 5y = 360\): \[\begin{aligned} 6x + 150 &= 360, \\ 6x &= 210, \\ x &= 35. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((35;\ -30)\).
4) Умножим обе части первого уравнения на 15, а обе части второго — на 12: \[\begin{cases} 9x - 10y = -300, \\ 3x - 2y = -84 \end{cases}\] Умножим обе части второго уравнения на \(-5\), получим уравнение \(-15x + 10y = 420\), в котором коэффициент при \(y\) противоположен коэффициенту при \(y\) в первом уравнении. Сложим его почленно с первым уравнением: \[\begin{aligned} (9x - 10y) + (-15x + 10y) &= -300 + 420, \\ -6x &= 120, \\ x &= -20. \end{aligned}\] Подставим \(x = -20\) в уравнение \(3x - 2y = -84\): \[\begin{aligned} -60 - 2y &= -84, \\ -2y &= -24, \\ y &= 12. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-20;\ 12)\).
Ответ: 1) \((15;\ 12)\); 2) \((-12;\ -30)\); 3) \((35;\ -30)\); 4) \((-20;\ 12)\).
