Страница 63 номер 3.2.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему линейных уравнений (3.2.16—3.2.17): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 3,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{4} = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1,\\[4pt] \frac{x}{6} - \frac{y}{5} = -4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{x}{5} - \frac{y}{7} = 2,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{7} = 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}-\frac{x}{3} + \frac{y}{7} = 0,\\[4pt] \frac{x}{15} + \frac{y}{7} = -6.\end{cases}\)
1) Умножим первое уравнение на 12, второе — на 4: \[\begin{cases} 4x + 3y = 36, \\ x - y = 16 \end{cases}\] Из второго уравнения \(x = y + 16\); подставим в первое: \[\begin{aligned} 4(y + 16) + 3y &= 36, \\ 4y + 64 + 3y &= 36, \\ 7y &= -28, \\ y &= -4. \end{aligned}\] Тогда \(x = -4 + 16 = 12\). Решение системы — пара \((12;\ -4)\).
2) Умножим первое уравнение на 15, второе — на 30: \[\begin{cases} 5x + 3y = 15, \\ 5x - 6y = -120 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на \(-1\) и сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-5x - 3y) + (5x - 6y) &= -15 + (-120), \\ -9y &= -135, \\ y &= 15. \end{aligned}\] Подставим \(y = 15\) в уравнение \(5x + 3y = 15\): \[\begin{aligned} 5x + 45 &= 15, \\ 5x &= -30, \\ x &= -6. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-6;\ 15)\).
3) Умножим первое уравнение на 35, второе — на 28: \[\begin{cases} 7x - 5y = 70, \\ 7x - 4y = 84 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на \(-1\) и сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-7x + 5y) + (7x - 4y) &= -70 + 84, \\ y &= 14. \end{aligned}\] Подставим \(y = 14\) в уравнение \(7x - 5y = 70\): \[\begin{aligned} 7x - 70 &= 70, \\ 7x &= 140, \\ x &= 20. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((20;\ 14)\).
4) Умножим первое уравнение на 21, второе — на 105: \[\begin{cases} -7x + 3y = 0, \\ 7x + 15y = -630 \end{cases}\] Коэффициенты при \(x\) противоположны; сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-7x + 3y) + (7x + 15y) &= 0 + (-630), \\ 18y &= -630, \\ y &= -35. \end{aligned}\] Подставим \(y = -35\) в уравнение \(-7x + 3y = 0\): \[\begin{aligned} -7x - 105 &= 0, \\ -7x &= 105, \\ x &= -15. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-15;\ -35)\).
Ответ: 1) \((12;\ -4)\); 2) \((-6;\ 15)\); 3) \((20;\ 14)\); 4) \((-15;\ -35)\).
Решить систему линейных уравнений (3.2.16—3.2.17): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 3,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{4} = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1,\\[4pt] \frac{x}{6} - \frac{y}{5} = -4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{x}{5} - \frac{y}{7} = 2,\\[4pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{7} = 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}-\frac{x}{3} + \frac{y}{7} = 0,\\[4pt] \frac{x}{15} + \frac{y}{7} = -6.\end{cases}\)
Умножим обе части каждого уравнения на общий знаменатель его дробей — коэффициенты станут целыми, и получится система, равносильная данной.
1) Умножим обе части первого уравнения на 12, а обе части второго — на 4: \[\begin{cases} 4x + 3y = 36, \\ x - y = 16 \end{cases}\] Из второго уравнения \(x = y + 16\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[\begin{aligned} 4(y + 16) + 3y &= 36, \\ 4y + 64 + 3y &= 36, \\ 7y &= -28, \\ y &= -4. \end{aligned}\] Тогда \(x = -4 + 16 = 12\). Решение системы — пара \((12;\ -4)\).
2) Умножим обе части первого уравнения на 15, а обе части второго — на 30: \[\begin{cases} 5x + 3y = 15, \\ 5x - 6y = -120 \end{cases}\] Умножим обе части первого уравнения на \(-1\), получим уравнение \(-5x - 3y = -15\). Сложим его почленно со вторым уравнением: \[\begin{aligned} (-5x - 3y) + (5x - 6y) &= -15 + (-120), \\ -9y &= -135, \\ y &= 15. \end{aligned}\] Подставим \(y = 15\) в уравнение \(5x + 3y = 15\): \[\begin{aligned} 5x + 45 &= 15, \\ 5x &= -30, \\ x &= -6. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-6;\ 15)\).
3) Умножим обе части первого уравнения на 35, а обе части второго — на 28: \[\begin{cases} 7x - 5y = 70, \\ 7x - 4y = 84 \end{cases}\] Умножим обе части первого уравнения на \(-1\), получим уравнение \(-7x + 5y = -70\). Сложим его почленно со вторым уравнением: \[\begin{aligned} (-7x + 5y) + (7x - 4y) &= -70 + 84, \\ y &= 14. \end{aligned}\] Подставим \(y = 14\) в уравнение \(7x - 5y = 70\): \[\begin{aligned} 7x - 70 &= 70, \\ 7x &= 140, \\ x &= 20. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((20;\ 14)\).
4) Умножим обе части первого уравнения на 21, а обе части второго — на 105: \[\begin{cases} -7x + 3y = 0, \\ 7x + 15y = -630 \end{cases}\] Коэффициенты при \(x\) противоположны. Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-7x + 3y) + (7x + 15y) &= 0 + (-630), \\ 18y &= -630, \\ y &= -35. \end{aligned}\] Подставим \(y = -35\) в уравнение \(-7x + 3y = 0\): \[\begin{aligned} -7x - 105 &= 0, \\ -7x &= 105, \\ x &= -15. \end{aligned}\] Решение системы — пара \((-15;\ -35)\).
Ответ: 1) \((12;\ -4)\); 2) \((-6;\ 15)\); 3) \((20;\ 14)\); 4) \((-15;\ -35)\).
