Страница 62 номер 3.2.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить способом алгебраического сложения систему уравнений (3.2.12—3.2.15): 1) \(\begin{cases}3x + 4y = 3,\\ 6x - 16y = 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}4x - 3y = -3,\\ 12x + 9y = -3;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}-8x + 10y = 4,\\ -4x - 5y = 2;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}6x + 4y = 2,\\ 9x + 8y = 0.\end{cases}\)
1) Умножим первое уравнение на 4; коэффициенты при \(y\) станут противоположными (16 и \(-16\)). Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (12x + 16y) + (6x - 16y) &= 12 + 0, \\ 18x &= 12, \\ x &= \frac{2}{3}. \end{aligned}\] Подставим \(x = \frac{2}{3}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 3 \cdot \frac{2}{3} + 4y &= 3, \\ 2 + 4y &= 3, \\ 4y &= 1, \\ y &= \frac{1}{4}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{1}{4}\right)\).
2) Умножим первое уравнение на 3; коэффициенты при \(y\) станут противоположными (\(-9\) и 9). Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (12x - 9y) + (12x + 9y) &= -9 + (-3), \\ 24x &= -12, \\ x &= -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Подставим \(x = -\frac{1}{2}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3y &= -3, \\ -2 - 3y &= -3, \\ -3y &= -1, \\ y &= \frac{1}{3}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}\right)\).
3) Умножим второе уравнение на 2; коэффициенты при \(y\) станут противоположными (10 и \(-10\)). Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-8x + 10y) + (-8x - 10y) &= 4 + 4, \\ -16x &= 8, \\ x &= -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Подставим \(x = -\frac{1}{2}\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 5y &= 2, \\ 2 - 5y &= 2, \\ -5y &= 0, \\ y &= 0. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\).
4) Умножим первое уравнение на \(-2\); коэффициенты при \(y\) станут противоположными (\(-8\) и 8). Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} (-12x - 8y) + (9x + 8y) &= -4 + 0, \\ -3x &= -4, \\ x &= \frac{4}{3}. \end{aligned}\] Подставим \(x = \frac{4}{3}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 6 \cdot \frac{4}{3} + 4y &= 2, \\ 8 + 4y &= 2, \\ 4y &= -6, \\ y &= -\frac{3}{2}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(\frac{4}{3};\ -\frac{3}{2}\right)\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{1}{4}\right)\); 2) \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}\right)\); 3) \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\); 4) \(\left(\frac{4}{3};\ -\frac{3}{2}\right)\).
Решить способом алгебраического сложения систему уравнений (3.2.12—3.2.15): 1) \(\begin{cases}3x + 4y = 3,\\ 6x - 16y = 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}4x - 3y = -3,\\ 12x + 9y = -3;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}-8x + 10y = 4,\\ -4x - 5y = 2;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}6x + 4y = 2,\\ 9x + 8y = 0.\end{cases}\)
Подберём к уравнениям множители так, чтобы после умножения коэффициенты при одном из неизвестных стали противоположными числами, и сложим уравнения почленно.
1) Умножим обе части первого уравнения на 4, получим уравнение \(12x + 16y = 12\). Коэффициенты при \(y\) в нём и во втором уравнении системы противоположны (16 и \(-16\)). Сложим эти уравнения почленно: \[\begin{aligned} (12x + 16y) + (6x - 16y) &= 12 + 0, \\ 18x &= 12, \\ x &= \frac{2}{3}. \end{aligned}\] Подставим \(x = \frac{2}{3}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 3 \cdot \frac{2}{3} + 4y &= 3, \\ 2 + 4y &= 3, \\ 4y &= 1, \\ y &= \frac{1}{4}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{1}{4}\right)\).
2) Умножим обе части первого уравнения на 3, получим уравнение \(12x - 9y = -9\). Коэффициенты при \(y\) стали противоположными (\(-9\) и 9). Сложим это уравнение почленно со вторым уравнением системы: \[\begin{aligned} (12x - 9y) + (12x + 9y) &= -9 + (-3), \\ 24x &= -12, \\ x &= -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Подставим \(x = -\frac{1}{2}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3y &= -3, \\ -2 - 3y &= -3, \\ -3y &= -1, \\ y &= \frac{1}{3}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}\right)\).
3) Умножим обе части второго уравнения на 2, получим уравнение \(-8x - 10y = 4\). Коэффициенты при \(y\) стали противоположными (10 и \(-10\)). Сложим это уравнение почленно с первым уравнением системы: \[\begin{aligned} (-8x + 10y) + (-8x - 10y) &= 4 + 4, \\ -16x &= 8, \\ x &= -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Подставим \(x = -\frac{1}{2}\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 5y &= 2, \\ 2 - 5y &= 2, \\ -5y &= 0, \\ y &= 0. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\).
4) Умножим обе части первого уравнения на \(-2\), получим уравнение \(-12x - 8y = -4\). Коэффициенты при \(y\) стали противоположными (\(-8\) и 8). Сложим это уравнение почленно со вторым уравнением системы: \[\begin{aligned} (-12x - 8y) + (9x + 8y) &= -4 + 0, \\ -3x &= -4, \\ x &= \frac{4}{3}. \end{aligned}\] Подставим \(x = \frac{4}{3}\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 6 \cdot \frac{4}{3} + 4y &= 2, \\ 8 + 4y &= 2, \\ 4y &= -6, \\ y &= -\frac{3}{2}. \end{aligned}\] Решение системы — пара \(\left(\frac{4}{3};\ -\frac{3}{2}\right)\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{1}{4}\right)\); 2) \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}\right)\); 3) \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\); 4) \(\left(\frac{4}{3};\ -\frac{3}{2}\right)\).
