Страница 61 номер 3.1.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Одна вилка и три сервировочных ножа вместе стоят столько же, сколько четыре ложки. Если купить один самый дорогой из этих предметов, один самый дешёвый, да ещё сервировочный нож и две ложки, то заплатить придётся столько же, сколько за шесть вилок. Сколько стоит каждый предмет, если самый дорогой из них на 120 р. дороже самого дешёвого?
Дано:
вилка и три сервировочных ножа стоят столько же, сколько четыре ложки
самый дорогой предмет, самый дешёвый, сервировочный нож и две ложки стоят столько же, сколько шесть вилок
самый дорогой предмет на 120 р. дороже самого дешёвого
Найти: цену вилки, цену ложки и цену сервировочного ножа.
Решение:
Пусть \(x\) р. — цена вилки, \(y\) р. — цена ложки, \(z\) р. — цена сервировочного ножа. Первое условие: \(x + 3z = 4y\), откуда \(x = 4y - 3z\).
Если \(z = y\), то \(x = 4y - 3y = y\) и все три предмета стоят одинаково, а по условию самый дорогой на 120 р. дороже самого дешёвого; значит, цены ножа и ложки различны.
Если нож дороже ложки, то \(3z\) больше \(3y\) и \(x = 4y - 3z\) меньше \(y\): вилка дешевле ложки, ложка дешевле ножа, самый дорогой предмет — нож, самый дешёвый — вилка.
Если нож дешевле ложки, то \(3z\) меньше \(3y\) и \(x\) больше \(y\): вилка дороже ложки, ложка дороже ножа, самый дорогой предмет — вилка, самый дешёвый — нож.
Первый случай: самый дорогой предмет — нож. Тогда \(x = z - 120\), и из равенства \(x + 3z = 4y\) \[4y = (z - 120) + 3z = 4z - 120,\] \[y = z - 30.\]
Второе условие: \(z + x + z + 2y = 6x\), то есть \(2z + 2y = 5x\): \[2z + 2(z-30) = 5(z-120),\] \[2z + 2z - 60 = 5z - 600,\] \[4z - 60 = 5z - 600,\] \[5z - 4z = 600 - 60,\] \[z = 540.\]
Вилка стоит \(540 - 120 = 420\) (р.), ложка — \(540 - 30 = 510\) (р.); все цены положительны и расположены в том порядке, который предполагался в этом случае.
Второй случай: самый дорогой предмет — вилка. Тогда \(x = z + 120\), и \[4y = (z + 120) + 3z = 4z + 120,\] \[y = z + 30.\]
Второе условие \(x + z + z + 2y = 6x\) снова даёт \(2z + 2y = 5x\): \[2z + 2(z+30) = 5(z+120),\] \[4z + 60 = 5z + 600,\] \[5z - 4z = 60 - 600,\] \[z = -540.\]
Цена не может быть отрицательной, поэтому второй случай невозможен.
Проверка: вилка и три ножа стоят \(420 + 3 \cdot 540 = 2040\) (р.), четыре ложки — \(4 \cdot 510 = 2040\) (р.); нож, вилка, ещё один нож и две ложки стоят \(540 + 420 + 540 + 2 \cdot 510 = 2520\) (р.), шесть вилок — \(6 \cdot 420 = 2520\) (р.); самый дорогой предмет дороже самого дешёвого на \(540 - 420 = 120\) (р.).
Ответ: вилка стоит 420 р., ложка — 510 р., сервировочный нож — 540 р.
Одна вилка и три сервировочных ножа вместе стоят столько же, сколько четыре ложки. Если купить один самый дорогой из этих предметов, один самый дешёвый, да ещё сервировочный нож и две ложки, то заплатить придётся столько же, сколько за шесть вилок. Сколько стоит каждый предмет, если самый дорогой из них на 120 р. дороже самого дешёвого?
Дано:
вилка и три сервировочных ножа стоят столько же, сколько четыре ложки
самый дорогой предмет, самый дешёвый, сервировочный нож и две ложки стоят столько же, сколько шесть вилок
самый дорогой предмет на 120 р. дороже самого дешёвого
Найти: цену вилки, цену ложки и цену сервировочного ножа.
Решение:
Пусть \(x\) р. — цена вилки, \(y\) р. — цена ложки, \(z\) р. — цена сервировочного ножа. Первое условие задачи записывается равенством \(x + 3z = 4y\), откуда \(x = 4y - 3z\).
Выясним, какой предмет самый дорогой, а какой самый дешёвый.
Если бы нож стоил столько же, сколько ложка, то есть \(z = y\), то \(x = 4y - 3y = y\): все три предмета стоили бы одинаково, а по условию самый дорогой на 120 р. дороже самого дешёвого. Значит, цены ножа и ложки различны, и возможны два случая.
Если нож дороже ложки, то \(3z\) больше \(3y\), поэтому \(x = 4y - 3z\) меньше \(4y - 3y = y\): вилка дешевле ложки, а ложка дешевле ножа. Самый дорогой предмет — нож, самый дешёвый — вилка.
Если нож дешевле ложки, то \(3z\) меньше \(3y\), поэтому \(x = 4y - 3z\) больше \(y\): вилка дороже ложки, а ложка дороже ножа. Самый дорогой предмет — вилка, самый дешёвый — нож.
Первый случай: самый дорогой предмет — нож. Тогда нож на 120 р. дороже вилки, то есть \(x = z - 120\). Из равенства \(x + 3z = 4y\) находим цену ложки: \[4y = (z - 120) + 3z = 4z - 120,\] \[y = z - 30.\]
Второе условие означает, что нож, вилка, ещё один нож и две ложки стоят столько же, сколько шесть вилок: \(z + x + z + 2y = 6x\), то есть \(2z + 2y = 5x\). Подставим сюда \(x = z - 120\) и \(y = z - 30\): \[2z + 2(z-30) = 5(z-120),\] \[2z + 2z - 60 = 5z - 600,\] \[4z - 60 = 5z - 600,\] \[5z - 4z = 600 - 60,\] \[z = 540.\]
Тогда вилка стоит \(540 - 120 = 420\) (р.), а ложка — \(540 - 30 = 510\) (р.). Все цены положительны и расположены в том порядке, который предполагался в этом случае: вилка дешевле ложки, ложка дешевле ножа.
Второй случай: самый дорогой предмет — вилка. Тогда вилка на 120 р. дороже ножа, то есть \(x = z + 120\), и \[4y = (z + 120) + 3z = 4z + 120,\] \[y = z + 30.\]
Второе условие означает, что вилка, нож, ещё один нож и две ложки стоят столько же, сколько шесть вилок: \(x + z + z + 2y = 6x\), то есть снова \(2z + 2y = 5x\). Подставим \(x = z + 120\) и \(y = z + 30\): \[2z + 2(z+30) = 5(z+120),\] \[4z + 60 = 5z + 600,\] \[5z - 4z = 60 - 600,\] \[z = -540.\]
Цена не может быть отрицательной, поэтому второй случай невозможен.
Проверка: вилка и три ножа стоят \(420 + 3 \cdot 540 = 2040\) (р.), четыре ложки — \(4 \cdot 510 = 2040\) (р.); нож, вилка, ещё один нож и две ложки стоят \(540 + 420 + 540 + 2 \cdot 510 = 2520\) (р.), шесть вилок — \(6 \cdot 420 = 2520\) (р.); самый дорогой предмет дороже самого дешёвого на \(540 - 420 = 120\) (р.).
Ответ: вилка стоит 420 р., ложка — 510 р., сервировочный нож — 540 р.
